Một vài kinh nghiệm trong dạy học môn Toán Lớp 7

Phòng Giáo dục & Đào tạo quảng trạch
Trường THCS Quảng đông
=======o0o=======
Sáng kiến kinh nghiệm 
Một vài kinh nghiệm trong dạy học môn toán lớp 7
 	 Ngời viết: Nguyễn Thanh Quỳnh
 	 Tổ: Khoa học - tự nhiên
 Năm học: 
Phần THứ NHấT : đặt vấn đề
Luật giáo dục nước cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam đã quy định: 
“ Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động tư duy sáng tạo của người học, bồi dưỡng năng lực tự học, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên của học sinh”. Trong báo cáo nhiệm vụ năm học, bộ giáo dục đào tạo chỉ rõ:“ Chỉ đạo mạnh mẽ đổi mới phương pháp dạy học và phong trào tự học, tự đào tạo. Coi trọng giáo dục chính trị tư tưởng, nhân cách, khả năng tư duy, sáng tạo và năng lực thực hành của học sinh”. Đối với môn toán, dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề là một biện pháp quan trọng để thực hiện định hướng nói trên.
Hướng đổi mới phương pháp dạy học toán hiện nay là tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự học, nhằm hình thành cho học sinh tư duy tích cực độc lập, sáng tạo nâng cao năng lực phát triển và giải quyết vấn đề, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh.
Trong việc giảng dạy môn toán, người thầy giáo đóng vai trò quan trọng trong việc hình thành và phát triển tư duy lôgic và phương pháp luận khoa học cho học sinh. Tập trung cao hoạt động trí óc của học sinh là một yêu cầu có tính nguyên tắc trong phương pháp dạy học. Việc dạy học được tiến hành thông qua tổ chức các hoạt động của học sinh. Trong quá trình học tập, học sinh là chủ thể chiếm lĩnh tri thức, rèn luyện kỹ năng, hình thành thái độ trong hoạt động và bằng tính tự giác và tích cực. 
Phát huy tính tích cực, sáng tạo trong học tập toán đòi hỏi học sinh biết nhìn nhận vấn đề theo nhiều góc độ khác nhau, tìm tòi những cái riêng trong cái chung và ngược lại tìm cái chung trong mỗi cái riêng. Qua đó, cũng có kiến thức cũ, tìm kiếm phát hiện trong kiến thức cũ, để đi đến kiến thức mới. Để giúp học sinh phát huy được tính tích cực, sáng tạo của mình, người giáo viên luôn đặt học sinh vào tình huống có vấn đề, tạo ra cho các em những thách thức trước những vấn đề mới. Trong quá trình dạy toán, giáo viên hướng dẫn học sinh khai thác những khía cạnh khác nhau của bài toán, thay đổi các yếu tố của bài toán, phát triển thành những bài toán mới, tìm nhiều cách giải khác nhau cho mỗi bài mới hình thành phát triển ở học sinh tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo cho học sinh, đồng thời kiến thức của các em được mở rộng hơn.
Để dạy học toán đạt được những yêu cầu trên, thì việc dạy học sinh phát hiện kiến thức thông qua khai thác bài toán trong sách giáo khoa và sách bài tập là một trong những biện pháp giúp các em tìm kiếm cái mới trong toán học. Nhiều khi đem đến cho học sinh những điều lý thú và sâu sắc. Tôi tin rằng khai thác những điều mới mẻ trong toán học là một phong cách học toán tốt đối với học sinh trung học cơ sở.
Phần thứ hai: nội dung
I. Cơ sở khoa học:
1.Cơ sở lý luận
Học sinh Trung học cơ sở ở lứa tuổi thiếu niên đang có xu hướng vươn lên làm người lớn muốn tự tìm hiểu khám phá trong quá trình nhận thức. ở tuổi này các em đã có điều kiện thuận lợi cho khả năng tự điều chỉnh hoạt động học tập của mình và tự giác tham gia các hoạt động khác nhau. Các em đã thể hiện các hình thức học tập mang tính chất người lớn. Nhưng nhược điểm của các em là chưa biết cách thực hiện nguyện vọng của mình, chưa nắm được các phương thức thực hiện các hình thức học tập mới. Chính vì thế cần có sự hướng dẫn điều hành một cách khoa học và nghệ thuật của các thầy cô giáo.
Với giáo viên cùng với sự thay đổi về nội dung, hình thức tổ chức dạy học thì cần coi trọng việc hình thành cho học sinh một kỹ năng phân tích tổng hợp, tạo năng lực tự học, tự rèn luyện chủ động bồi dưỡng kiến thức cho mình là một việc vô cùng quan trọng. 
Theo lí luận về giải toán của các nhà khoa học có thể hiểu : Giải bài toán tức là một quá trình tìm tòi sáng tạo, huy động kiến thức - kỹ năng - thủ thuật và các phẩm chất của trí tuệ để giải quyết bài toán đã cho. Khuyến khích hoạt động trí tuệ của học sinh qua học tập bộ môn toán nhằm nâng cao chất lượng giáo dục, đào tạo, chất lượng học tập của học sinh. 
 Khi bắt tay vào giải một bài toán nào đó thì bao giờ trong ta cũng xuất hiện một câu hỏi rất tự nhiên là: Liệu bài toán này có liên quan với một bài toán nào không? Trên cơ sở đó hoặc là ta đưa bài toán cần giải quyết về bài toán quen thuộc đã biết cách giải, hoặc sử dụng những khía cạnh nào đó ở các bài toán liên quan để giải bài toán đã cho.Vì thế có thể nói kĩ năng mở rộng bài toán và tìm các bài toán liên quan là một kĩ năng rất quan trọng thể hiện tính sáng tạo, khả năng tiếp thu của học sinh thông qua việc vận dụng các tri thức có sẵn để giải quyết các bài tập tương tự và tìm lời giải cho bài toán mới. Được vận dụng thường xuyên và việc rèn luyện kĩ năng này là một yêu cầu cần thiết và bổ ích trong quá trình dạy học giải bài tập toán.
 Sau khi nắm bắt kiến thức của bài học và vận dụng vào làm bài tập việc tạo được thói quen chủ động tìm tòi, khai thác, phát triển các bài toán sẽ giúp người học hiểu sâu sắc kiến thức đã học, phát triển tư duy sáng tạo và tiếp thu kiến thức mới. Nhằm phát triển tư duy lôgic và phương pháp luận khoa học, phát triển thế giới quan duy vật biện chứng và duy vật lịch sử. Phát huy được tính tích cực sáng tạo của học sinh.
Từ đó hình thành cho học sinh những năng lực ứng với những thay đổi trong thực tiễn, để tự chủ, tự lập trong lao động, trong cuộc sống và hoà nhập với môi trường nghề nghiệp. Hình thành cho học sinh có năng lực ứng xử, năng lực hành động, năng lực tự học, có kỹ năng diễn đạt (Nói, viết). Kích thích trí tưởng tượng, gây hứng thú học tập. Góp phần rèn luyện phương pháp học tập và rèn luyện có kế hoạch khoa học, chủ động, linh hoạt, sáng tạo.
2. Cơ sở thực tiễn:
Qua ba năm trực tiếp giảng dạy lớp 7 tôi thấy rằng nội dung SGK toán 7 mới được giới thiệu phù hợp với khả năng học tập của học sinh. Hình thức thể hiện của sách phong phú, về ngôn ngữ trong sáng dễ hiểu, cách trình bày sáng sủa gọn gàng, kênh hình tăng. Dưới mỗi đề bài thường có một câu hỏi nhằm kích thích óc tò mò khoa học và gây hứng thú cho học sinh trước khi vào bài mới. Phần bài tập được thể hiện dưới nhiều hình thức rất hay. Có những bài toán được viết dưới dạng đố vui, câu hỏi trắc nghiệm ... Hệ thống bài tập đa dạng phong phú vừa sức gây được hứng thú, say mê học tập với học sinh.. Với những đổi mới trên của SGK toán 7 sẽ là một trong những thuận lợi lớn góp phần nâng cao chất lượng dạy và học toán ở các trường THCS.
Trường THCS Quảng Đông nằm ở vùng khó khăn của huyện Quảng Trạch, được sự quan tâm chỉ đạo sát sao của UBND xã và các cấp, các ngành đặc biệt là Phòng giáo dục đào tạo huyện Quảng Trạch. Trường có đội ngũ giáo viên vững vàng về chuyên môn, nhiệt tình tâm huyết hết lòng vì sự nghiệp trồng người. Đa số các em học sinh chăm ngoan, gia đình tạo điều kiện thuận lợi cho các em học tập. Song bên cạnh những thuận lợi đó qua dự giờ một số giáo viên mới ra trường về trình độ chuyên môn còn non, đặc biệt là phương pháp giảng dạy, chưa đáp ứng đầy đủ yêu cầu nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện trong giai đoạn mới, phương thức chậm đổi mới chưa bắt kịp với yêu cầu hiện nay của giáo dục đào tạo. Hơn nữa đồ dùng, phòng học, sách tham khảo phục vụ cho yêu cầu thay sách chưa đáp ứng đầy đủ. Chất lượng bộ môn toán của học sinh chưa đồng đều, tỷ lệ học sinh trung bình và yếu của khối 7 còn nhiều, tỷ lệ học sinh khá, giỏi thấp một số em vẫn mải chơi chưa ham học.Các em học sinh Đặc biệt là trong những giờ luyện tập toán nhiều em không chịu tìm tòi, suy nghĩ hay ỷ lại trông chờ vào giáo viên. Mặt khác do đóng ở địa bàn miền núi nên việc tiếp cận với phương pháp giảng dạy mới của giáo viên cũng có nhiều hạn chế. Trong các tiết học khi giải một bài tập thường giáo viên và học sinh chỉ giải đúng, có kết quả đúng là đủ, ít khi quan tâm đến việc phát triển và mở rộng bài toán theo các hướng khác nhau để phát huy khả năng tư duy toán học, tiềm năng sáng tạo của học sinh.
Nhìn vào thực trạng dạy và học của nhà trường, bản thân tôi khi nhận giảng dạy bộ môn toán lớp 7, để nâng cao chất lượng dạy của bản thân, học tập của trò và nhất là nâng cao chất lượng đại trà, tôi đã cố gắng nghiên cứu kỹ SGV và SGK mới đồng thời đọc các tài liệu phục vụ cho thay sách. Thay đổi hình thức và phương pháp giảng dạy sao cho phù hợp. Tôi đã tìm ra nhiều biện pháp mới giúp các em học tập tốt hơn. Một trong những biện pháp mà tôi áp dụng thành công trong giảng dạy hai năm thay sách lớp 7 đó là: Dạy học sinh khai thác một bài toán quen thuộc để tìm ra những bài toán mới và giải quyết những bài toán mới đó theo nhiều cách khác nhau.Trong phạm vi bài viết này tôi mạnh dạn đề cập vấn đề này với mong muốn đóng góp những kinh nghiệm của mình vào giảng dạy môn toán 7 đạt hiệu quả cao hơn. 
II.nội dung cụ thể
Việc Khai thác một bài toán quen thuộc để tìm ra một bài toán mới tạo cho học sinh một cách học tập thông minh và sáng tạo. Mỗi khi làm được bài tập và tìm ra được một bài toán mới đồng thời giải quyết bài toán đó, các em học sinh cảm thấy rất vui. Vì thế trong khi giảng dạy tôi tiến hành ở mức độ thích hợp nhất đối với trình độ phát triển của học sinh. Tổ chức cho học sinh trao đổi tự tìm kiếm lời giải, tự thay đổi dữ kiện và giải quyết vấn đề nêu ra. Một nội dung quá dễ hoặc quá khó sẽ không gây được hứng thú với các em. Tôi dẫn dắt học sinh khai thác bài toán theo hướng luôn tìm được cái mới, có thể tự dành lấy kiến thức, bản thân các em cảm thấy tự tin hơn và thấy mình mỗi ngày một trưởng thành. Trong mỗi giờ học tôi luôn tạo ra không khí thuận lợi cho lớp học, làm cho học sinh yêu thích môn toán và thường mong đợi đến giờ học toán. Bằng trình độ chuyên môn và nghiệp vụ của mình tôi muốn tạo được uy tín cao đối với học sinh. Bằng cách tổ chức và điều khiển hợp lý các hoạt động của từng cá nhân học sinh và tập thể lớp, tạo được hứng thú cho cả lớp và niềm vui học tập của học sinh, giúp các em say mê tìm tòi sáng tạo khám phá cái mới. Qua đó học sinh phát huy được tiềm năng sáng tạo của bản thân và khẳng định kiến thức nắm được của mình.Tôi xin trình bày một số ví dụ bản thân đã tiến hành trong quá trình giảng dạy toán 7 tại trường THCS Quảng Đông:
	1.Sau khi học bài tỷ lệ thức ta có với a, b, c, d ạ 0 từ 1 trong 5 đẳng thức sau đây ta có thể suy ra các đẳng thức còn lại.
 ad = bc
*Sách giáo khoa Toán 7 mới đã giới thiệu tính chất:
 	 Ta suy ra (b ạ d và b ạ - d)
Từ đó áp dụng tính chất này cho dãy tỷ số bằng nhau:
Từ dãy tỷ số bằng nhau:
 Ta suy ra 
	(Giả thiết các tỷ số đều có nghĩa)
Không dừng lại ở đó, phần bài tập đã được bổ sung thêm tính chất thú vị:
 Bài toán 1.1: ( Bài tập 63 SGK Toán 7 trang 31)
Chứng minh rằng: Từ tỷ lệ thức: (a - b ạ 0 và c – d ạ 0) ta có thể suy ra tỷ lệ thức: 
 Cách giải: 
Cách1: Đặt = k ị a= bk và c = kd
Vì a – b ạ 0 và b ạ 0 ị kb – b ạ 0ị b (k - 1) ạ 0 ị k ạ 1
 ta có:	(3)
	 (4)
Từ (3) và (4) suy ra 	
Cách 2:Từ ị ad = bc do đó:
Cách 3: Từ ị = 
Hay	 ị 	
Cách 4: Từ ị ad = bc 	 (1)
 Thêm bd vào 2 vế của (1) ta được: ad + bd =bc +bd
Hay (a + b)d = b(c + d) ị	(2)
 Thêm – bd vào 2 vế của (1) ta được: ad - bd =bc - bd
Hay (a - b)d = b(c - d) ị	(3)
Từ (2) và (3) suy ra: ị 
* Khai thác bài toán1.1 cho học sinh nghiên cứu đưa ra bài toán đảo, đây là điều thú vị khi khai thác, ta có bài toán sau:	
Bài toán 1.2
 Chứng minh rằng từ tỷ lệ thức: ạ 1
Ta có thể suy ra tỷ lệ thức: 	
Cách giải:	Đặt 	 ạ 1
	ị a + b = (a – b)k và c + d = (c – d)k
Vì a + b = (a – b)k ị a + b = ak – bk
ị b + bk = ak – a ị b(k + 1) = a (k – 1)
ị 	(1)
	Tương tự vì c + d = (c – d)k ị 	(2)
	Từ (1) và (2) ị 
Bài toán 1.3: ( Bài tập 73 -SBT toán 7 tập 1 trang 14)
Cho a, b, c, d ạ 0 từ tỷ lệ thức Hãy suy ra tỷ lệ thức 
Cách giải:
Cách 1: Từ tỷ lệ thức: ị bc = ad
ị ac – bc = ac – ad ị (a - b)c = (c - d)a ị 
Cách 2: Có thể giải bài toán này tương tự như cách chứng minh tính chất trong sách giáo khoa: Đặt ị a= bk; c = dk 
Từ đó ta có:
 (1)
 (2)
Từ (1) và (2) suy ra : 
Cách 3: Xét các tích: (a - b) c = ac - bc (1)
	 (c - d) a = ac - ad (2)
	Ta có nên ad = bc (3)
	Từ (1), (2) và (3) suy ra: (a - b) c = c - d) a
 do đó: 
Cho học sinh phát biểu bài toán tương tự? Bài toán được tương tự hoá như sau:
Bài toán 1.4: 
Cho a, b, c, d ạ 0 .
Từ tỷ lệ thức hãy suy ra tỷ lệ thức 
Học sinh làm tương tự bài toán 1.3 
Ngoài ra còn có thể khám phá, khai thác, phát triển thêm nhiều bài toán để học sinh làm quen với bài toán này.
Bài toán 1.5: 
Chứng minh rằng từ tỷ lệ thức ta có thể suy ra các tỷ lệ thức:
a. 
b. 
Cách giải: a/ Đặt = k ị a = bk, c = dk
	(3)
	(4)
Từ (3) và (4) suy ra	
Phần còn lại yêu cầu học sinh tự chứng minh.
Tiếp tục khai thác phát triển ta được các bài toán sau:
Bài toán 1.6: 
Chứng minh rằng từ tỷ lệ thức ta có thể suy ra tỷ lệ thức:
Bài toán 1.7: 
Chứng minh rằng từ tỷ lệ thức ta có thể suy ra tỷ lệ thức:
Học sinh tự giải các bài tập trên.
Trong quá trình dạy học tôi luôn hướng cho học sinh: “ Không chỉ dừng lại ở việc giải toán” mà tìm tòi khai thác bài toán đó, thực tế trong các giờ luyện tập, ôn tập chương đã có nhiều em học sinh phát triển và giải một số bài toán hay và thú vị. 
 	2.Sách bài tập toán 7 tập 1 trang 14 có bài toán như sau:
	So sánh các số a, b, c biết và a + b + c ạ 0
	Cách giải:
	Cách 1: Ta có ị = = 1
	 ị a = b; ị b = c
	 Vậy a = b = c
	Ngoài cách giải như sách bài tập trên liệu còn cách giải nào khác không.Tôi hướng dẫn cho các em suy nghĩ tìm thêm một số cách giải khác:	Cách 2: Đặt = k. Ta có: a = kb; b = kc; c = ka 
	ị a = kb = k (kc) = k [k (ka) ]
 ị a = k3a ị k3 = 1 (vì aạ 0) ị k = 1
	 Vậy = 1 ị a = b = c
	Cách 3: Đặt = k. Ta có: a = kb; b = kc; c = ka
	ị abc = (kb) (kc) (ka) = k3abc ị k3 = 1 (vì abc ạ 0) ị k = 1
	 Vậy = 1 ị a = b = c
	Cách 4: ị ()3 = ị ()3 = 1 ị ị a = b
	tương tự: ị b = c
	 Vậy a = b = c
	Bài toán trên có đúng với nhiều số hay không? Các em hãy phát biểu bài toán trong trường hợp tổng quát:
	Cho a1+ a2 +...+an ạ 0 và 
Chứng minh rằng: a1 = a2 =... = an.
 Cách giải tương tự như bài tập trên các em hãy chứng minh bài này.	
Ta có: ị = 
	ị ; .....
	 ; 
	ị a1 = a2 = ... =an
	Các cách khác cho học sinh tự chứng minh
	Với các kết quả trên cho các em làm các bài tập sau:
	Bài tập 2.1: Cho ; a + b + c ạ 0; a = 2003, tính b và c
	Cách giải : Vì ; a + b + c ạ 0 ị a = b = c
 Mà a = 2003 ị b = c = 2003 
 Ta có thể thay đầu bài cho a hoặc b hoặc c bằng một số bất kỳ,tính số còn lại
	Bài tập 2.2: ; a + b + c ạ 0
	Tính giá trị của A = 
	Cách giải:	Vì ; a + b + c ạ 0 ị a = b = cị A = 1
	Ta có thể thay số mũ của a, b, c để được các bài tập khác tương tự.
	Bài tập 2.3: ; a + b + c ạ 0
	Chứng minh rằng: 
	a/ (4a + 15b + 1980c)2005 = 19992005.a2002.b3
	b/ (4a + 15b + 1980)2005 = 19992005.b1990.c15
	Bài tập 2.4: 	Cho a1 + a2 + ...+an ạ 0
	Và hãy tính
	a/ A = 
	b/ B = 
Học sinh tự giải các bài tập trên.
	3.Sau khi học song ba trường hợp bằng nhau của 2 tam giác sách bài tập toán 7 tập 1 trang 106 có bài tập 63 và bài tập 64 sau khi chứng minh ta có kết quả sau: 
“ Đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai, thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba”.
“Đường thẳng đi qua trung điểm hai cạnh của một tam giác thì song song và bằng một nửa cạnh thứ ba”.	
áp dụng các kết quả trên các em có thể giải được bài tập sau:
 Bài tập 3.1: (Bài37 sách bài tập toán 7 tập 2): Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AD. Kẻ đường trung tuyến BE cắt AD ở G. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của GA, GB. Chứng minh rằng:
a) IK// DE, IK = DE.
b) AG = AD.
Chứng minh: a) áp dụng kết quả của của bài 64-SBT toán 7 tập 1 vào các tam giác ABC và ABG, ta có:
DE//AB, DE = AB, IK//AB, IK = AB	hình
Do đó: DE//IK và DE = IK.
b) D GDE và D GIK có: DE = IK (câu a)
éGDE = éGIK (so le trong, DE//IK)
éGED = éGKI (so le trong, DE//IK)
Do đó D GDE = DGIK (c.g.c), suy ra GD = GI.
Ta có GD = GI = IA nên AG = AD
Trong bài tập trên ta đã chứng minh được trung tuyến BE cắt đường trung tuyến AD tại điểm G có AG = AD. Chứng minh tương tự, nếu kẻ đường trung tuyến CF cắt đường trung tuyến AD tại điểm G’ có AG’ = AD, tức là G’ trùng với G. Điều đó chứng tỏ rằng: Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. Dễ dàng chứng minh được điểm đó cách mỗi đỉnh của tam giác một khoảng bằng đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
Từ các kết quả trên ta có thể cho các em làm một số bài tập. Sau đó giúp các em khai thác các cách giải khác nhau trong mỗi bài tập đó.
Bài toán 3.2: Cho tam giác ABC cân tai A đường cao AH, gọi M là trung điểm của AH; BM cắt AC tại D. Chứng minh AD =CD.
Chứng minh:
Do D ABC cân tại A, có AH là đường cao
 ị H là trung điểm của BC.
Gọi K là trung điểm của CD	hình
ị HK // BD ị DM // HK.
D AHK có MA = MH; DM // HK 
ị AD = DK.
Mà KD = CD ị AD = CD.
Trong bài tập trên đầu bài cho AH là đường cao chỉ sử dụng để chứng minh HB = HC nên ta có thể thay đường cao AH bởi trung tuyến AH, khi đó không cần D ABC cân vẫn có kết AD = CD. Ta có bài toán sau:
Bài toán 3.3: Cho tam giác ABC có AH là trung tuyến M là trung điểm của AH, BM cắt AC tại D. Chứng minh AD =CD.
Chứng minh:Tương tự bài trên các em tự chứng minh.
Sau đó cho các em thành lập bài toán đảo của bài toán trên.
Bài toán 3.4: Cho tam giác ABC, trung tuyến AH, D thuộc AC sao cho AD = CD. Gọi M là giao điểm của BD và AH. Chứng minh rằng M là trung điểm của AH.
Chứng minh: các em tự chứng minh
Giáo viên cho học sinh tiếp tục khai thác bài toán 1 ta thấy BD đi qua trung điểm M của AH, do AB và AC có vai trò bình đẳng trong tam giác ABC
Nên nếu lấy E trên cạnh AB sao cho AE =BE, tương tự ta cũng có CE đi qua trung điểm của AH từ đó ta có bài toán sau:
	Bài toán 3.5: Cho tam giác ABC, trung tuyến AH trên cạnh AC lấy D sao cho AD = CD, trên cạnh AB lấy E sao cho AE = BE. Chứng minh rằng ba đường thẳng AH, CE, BD đồng quy.
Hình
 Giáo viên hướng dẫn học sinh chứng minh tương tự bài toán 2.
	Chứng minh CD đi qua trung điểm M của AH.
	Chứng minh BD đi qua trung điểm M của AH.
	Từ kết quả của bài tập 64 sách bài tập, áp dụng vào D AKH và D BDC ta có MD = HK = .BD = BD hay BM = 3.MD.
	 Từ đó ta có bài toán sau:
	Bài toán 3.6: Cho tam giác ABC, H là trung điểm của BC. Trên AC lấy D sao cho AD = CD, M là giao điểm của BD và AH. Chứng minh rằng BM = 3.MD.
4.Ngoài việc phát triển bài toán giáo viên còn rèn cho các em kẻ thêm hình phụ để chứng minh bài toán, từ đó phát triển khả năng tư duy toán học của các em.
	Bài toán 4.1: Cho tam giác ABC cân tại A, trung tuyến CD, trên tia đối của BA lấy điểm K sao cho BK = BA, chứng minh rằng CD = CK.
	Chứng minh: 
	Hướng thứ nhất: tạo ra đoạn thẳng bằng nửa CK.
	Cách 1:Gọi I là trung điểm của CK thì CI = sau đó chứng minh CI = CD do D CBI = D CBD (c.g.c)
 2hình
Cách 2: Gọi E là trung điểm của AC thì BE = sau đó chứng minh BE = CD do D BCE = D CBD (c.g.c).
	Hướng thứ hai: Tạo ra đoạn thẳng gấp đôi CD.
	Cách 3: Trên tia đối của CD lấy điểm M sao cho CM = CB
 thì AM = 2.CD sau đó chứng minh AM = CK do D MCA = D CBK (c.g.c)
3hình
 Cách 4: Trên tia đối của CA lấy điểm N sao cho CN = CA thì BN = 2.CD sau đó chứng minh BN = CK do D BCN = D CBK (c.g.c)
	Cách 5: Trên tia đối của DC lấy điểm E sao cho DE = DC. Dễ dàng chứng minh được DE = AC, BE // AC. Sau đó chứng minh D CDE = D CBK (c.g.c).
	5.Bài tập 8 SBT toán 7 tập 2 trang 85: Cho tam giác ABC nhọn đường cao AH, vẽ D sao cho AB là trung trực của HD. Vẽ E sao cho AC là trung trực của HE. Gọi M, N theo thứ tự là giao điểm của DE với AB và AC. Xét xem các đường thẳng sau là đường gì trong tam giác HMN: MB, NC, HA, HC, MC. Từ đó hãy chứng minh MC ^ AB
	hình
	Chứng minh: Do M thuộc trung trực của HD nên MH = MD; MB là đường trung trực của đáy HD của tam giác cân HMD nên MB là tia phân giác của góc HMD. Tương tự NC là tia phân giác của góc HNE. Vậy MB, NC là các đường phân giác ngoài của tam giác HMN. 
	Các đường thẳng MB, NC cắt nhau