Phương pháp giúp học sinh khá, giỏi lớp 4+5 nắm vững cách tìm số chữ số tận cùng giống nhau trong một tích các số tự nhiên mà tích có chứa thừa số là 5 và có chứa thừa số là số chẵn

Sáng kiến kinh nghiệm
“Phương pháp giúp học sinh khá, giỏi lớp 4 + 5 nắm vững cách tìm số chữ số tận cùng giống nhau trong một tích các số tự nhiên “ mà tích có chứa thừa số là 5 và có chứa thừa số là số chẵn ” .
I. Đặt vấn đề :
1, Tính lý luận :
Trong cuộc sống việc vận dụng các yếu tố có liên quan đến toán học là một vấn đề không thể thiếu, không thể không đề cập tới. Vậy có thể khẳng định rằng : “ Toán học có một tầm quan trọng rất lớn và chiếm một vị trí hết sức đặc biệt trong đời sống thực tế của con người ”.
Chính vì thế mà trong chương trình giáo dục phổ thông, Toán học luôn luôn được chú trọng và được dành một thời lượng rất lớn cho chương trình dạy - học môn toán ở trong các nhà trường.
Với vai trò là những người giáo viên, người làm công tác giáo dục thì việc thấm nhuần và thực hiện tốt phương châm giáo dục của Đảng là hết sức cần thiết “ Đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài ”. Nên việc nêu lên những định hướng và giải pháp phù hợp với yêu cầu giáo dục ở phổ thông nói chung và ở Tiểu học nói riêng, nhằm giúp học sinh hình thành, rèn luyện những kĩ năng cần thiết và phát triển năng lực tư duy toán học là một công việc thường xuyên, cập nhật và luôn phải được coi trọng không thể xem nhẹ được.
2. Tính thực tiễn :
Hiện nay trong các cấp học phổ thông nói chung và cấp Tiểu học nói riêng, việc dạy - học môn toán đã có nhiều tiến bộ, đã có nhiều đổi mới theo hướng tích cực hơn. Hoạt động giảng dạy của giáo viên hay hoạt động học tập của học sinh đều được chú trọng và đạt hiệu quả khá tốt. Việc áp dụng phương pháp dạy học mới nhằm phát huy tối ưu tính tích cực, sáng tạo của học sinh, dạy - học lấy học sinh làm nhân vật trung tâm đã được nhiều đồng chí giáo viên khai thác, áp dụng hết sức thành công.
 Song bên cạnh đó cũng còn không ít tồn tại, thiếu sót, việc dạy - học thụ động, đối phó vẫn còn xảy ra. Việc chú trọng tìm ra cách dạy – cách học hợp lý nhằm để phát triển đúng năng lực tư duy học toán cho học sinh và điều đặc biệt hơn việc xác định rõ vai trò thiết yếu, tầm quan trọng đặc biệt của mỗi dạng toán lại chưa được giáo viên chú trọng, ngay ở chương trình chính khóa cũng như việc phát hiện và bồi dưỡng học sinh khá, giỏi.
Mặt khác, ngoài yếu tố giáo viên và học sinh thì chúng ta cũng không thể không đề cập tới vấn đề về sách giáo khoa và các tư liệu tham khảo. Vẫn biết rằng, theo sự phát triển chung trong nền giáo dục của đất nước thì hệ thống cấu trúc chương trình cũng được điều chỉnh một cách khá hợp lí. Nhiều tư liệu tham khảo dành cho môn toán cũng được chỉnh sửa, tái bản, đầu tư có chiều sâu và hết sức có hiệu quả. Nhiều tài liệu đã đáp ứng được các yêu cầu thiết yếu cho quá trình nghiên cứu và học tập của các độc giả, đặc biệt là cho giáo viên, học sinh và các bậc phụ huynh. Tuy vậy, ngoài tính ưu việt của sách giáo khoa và sách tham khảo thì vẫn còn không ít những vấn đề về toán học mà tư liệu tham khảo chưa đáp ứng được, thậm chí còn thiếu hụt trong quá trình dạy - học.
Chính từ những cơ sở lí luận và thực tiễn ở trên mà chúng tôi đã chọn việc nghiên cứu và tìm hiểu về môn toán ở Tiểu học, nhưng với phạm trù chương trình môn toán hết sức đa dạng và phong phú, phạm vi đề cập quá rộng. Vả lại với yêu cầu về công việc và dung lượng thời gian không cho phép, vì thế chúng tôi chỉ lựa chọn một phần nhỏ, một dạng bài cụ thể để nghiên cứu và xây dựng. Nội dung đề cập của sáng kiến là: Phương pháp giúp học sinh khá, giỏi lớp 4 + 5 nắm vững cách tìm số chữ số tận cùng giống nhau trong một tích các số tự nhiên “ mà tích có chứa thừa số là 5 và có chứa thừa số là số chẵn”
II. Thực trạng và nguyên nhân tồn tai:
Trong quá trình dạy học hiện nay, ngoài công tác dạy - học theo đúng mục tiêu, yêu cầu về kĩ năng cần đạt của môn học, thì việc phát hiện và bồi dưỡng học sinh năng khiếu từng môn ở lớp bốn, năm đã có nhiều điểm tốt, mang lại một số kết quả nhất định. Nhưng bên cạnh đó cũng còn có nhiều điểm tồn tại, thiếu sót cần được khắc phục. 
Qua quá trình dạy học nhiều năm cũng như quá trình làm công tác quản lý, với nhiệm vụ chỉ đạo công tác chuyên môn; bồi dưỡng chất lượng đội ngũ; chỉ đạo và tham gia việc nâng cao chất lượng mũi nhọn cho học sinh, cũng như việc thường xuyên nghiên cứu nhiều tài liệu tham khảo liên quan đến toán học, chúng tôi nhận thấy : 
1, Về học sinh :
Với đặc điểm tâm sinh lý của học sinh Tiểu học thì tính tư duy trừu tượng chưa cao, mới chỉ ở trong giai đoạn hình thành và phát triển. Do vậy việc tiếp nhận tri thức của các em trong quá trình học tập chủ yếu vẫn đang thiên về tính cụ thể, bắt chước, làm theo, học tập theo mẫu. Mặc dù vẫn biết rằng phương pháp dạy học mới đang phát huy tính độc lập, sáng tạo và nâng cao năng lực tư duy trừu tượng cho các em, thế nhưng cũng không thể thay đổi hoàn toàn được đặc điểm này của lứa tuổi học sinh Tiểu học. 
Từ lí do này và qua quá trình chỉ đạo công tác nâng cao chất lượng mũi nhọn cho các nhà trường, thì quả thật học sinh còn hết sức mơ hồ, chưa thể hiểu một cách cặn kẽ và làm tốt các bài tập ở một dạng toán nào đó ( Dạng lạ chưa được đưa về dạng quen ), khi mà chưa được giáo viên cung cấp kiến thức một cách hoàn chỉnh và có hệ thống. Trường hợp ( tìm số chữ số tận cùng giống nhau trong một tích các số tự nhiên “ mà tích có chứa thừa số là 5 và có chứa thừa số là số chẵn” ) cũng như vậy.
Lí do là các em thiếu hụt kiến thức cơ bản của các dạng toán này.
2, Về giáo viên :
Hiện nay đội ngũ giáo viên các nhà trường nói chung cũng như trường Tiểu học Quỳnh Tân B nói riêng đều đạt chuẩn và trên chuẩn; trẻ, khỏe, năng nổ, nhiệt tình và năng lực tư duy khá tốt. Song do tuổi đời còn trẻ, tuổi nghề còn non vì thế mà kinh nghiệm dạy học còn ít, vốn tích lũy kiến thức và hệ thống chương trình môn học của từng khối lớp chưa sâu, dẫn đến việc cố gắng dạy - học cho học sinh trên lớp đúng, đủ, chính xác và đạt chuẩn đã là hết sức khó khăn, chứ nói gì đến công tác phát hiện và bồi dưỡng học sinh năng khiếu đạt hiệu quả cao.
Bên cạnh đó có nhiều giáo viên tuy năng lực chuyên môn rất tốt nhưng phương pháp truyền thụ lại bị hạn chế. Vì vậy, hiệu quả dạy - học vẫn còn chưa chưa đáp ứng được.
Nhiều đồng chí có năng lực được chọn làm hạt nhân trong công tác bồi dưỡng, nhưng việc cung cấp kiến thức cho học sinh cũng mới chỉ nghiên cứu trên phương diện tư liệu có sẵn, chứ chưa chịu đào sâu kiến thức của từng dạng bài cụ thể, những nội dung ở sách giáo khoa và sách tham khảo không đề cập tới.
3, Về tài liệu tham khảo :
Trên thực tế, bản thân chúng tôi làm công tác quản lí và nhiều năm tham gia công tác bồi dưỡng. Với lòng say mê nghiên cứu và tìm hiểu nhiều tư liệu tham khảo nhằm nâng cao trình độ và thuận lợi cho việc chỉ đạo dạy - học thì chúng tôi nhận thấy rằng : 
Tài liệu tham khảo là một tư liệu cơ bản không thể thiếu trong quá trình dạy học của người giáo viên, đặc biệt là các đồng chí giáo viên tham gia làm công tác nâng cao chất lượng mũi nhọn trong các nhà trường. Về cơ bản, các tư liệu có tính ưu việt hết sức cao. Song bên cạnh đó, trong nhiều tài liệu còn có một số hạn chế nhất định và chưa đáp ứng hết được lòng đam mê khám phá toán học của nhiều giáo viên và học sinh. Nhiều dạng toán ở tài liệu tham khảo đưa ra hướng giải quyết chưa có tính thuyết phục cao, vì kiến thức mỗi người có hạn, lĩnh vực toán học thì rất rộng lớn.
Dạng toán : Tìm số chữ số tận cùng giống nhau trong một tích các số tự nhiên “ mà tích có chứa thừa số là 5 và có chứa thừa số là số chẵn” cũng không phải là trường hợp ngoại lệ, trong cách trình bày còn có rất nhiều hạn chế, cách viết còn phiến diện, chung chung, không cụ thể. Các bài tập đưa ra phương pháp giải chưa gãy gọn, mới xét đến trường hợp số thừa số là 5 ít hơn số thừa số chẵn có trong tích để tìm số chữ số tận cùng giống nhau, chứ chưa chú trọng hết tất cả các trường hợp có thể xảy ra trong dạng toán này liên quan đến kết quả của tích.( Chẳng hạn : Nhiều bài tập cụ thể ở dạng toán này thì không chỉ căn cứ vào số thừa số 5 trong tích để xét số chữ số tận cùng giống nhau là được như tài liệu đề cập, mà phải xét đến số thừa số chẵn tham gia trong tích khi trường hợp số thừa số chẵn ít hơn số thừa số là 5 . Đây cũng chính là nội dung sáng kiến hướng dẫn học sinh giải loại toán này. Điểm mới so với các tài liệu tham khảo ). 
Để kiểm chứng tính thuyết phục và triết lí đưa ra của sáng kiến, trước khi triển khai thực nghiệm, chúng tôi đã tổ chức khảo sát chất lượng học sinh ở một số trường về dạng toán này.
* Kết quả kiểm tra học sinh đầu năm :
TT
Đơn vị, lớp
Số lượng hs
Kết quả
G
K
TB
Y
SL
TL
SL
TL
SL
TL
SL
TL
1
TH QHồng, Lớp thực nghiệm 5A
25
0
0
7
28
18
72
0
0
2
TH QTân B, Lớp Tnghiệm 5A + 4A
50
0
0
8
16
40
80
2
4
3
TH QTân A, Lớp đối chứng 4A
25
0
0
3
12
18
72
4
16
Từ những thực trạng và nguyên nhân cơ bản đó đã làm cho nhiều giáo viên lúng túng trong cách dạy, nhiều học sinh lúng túng trong cách giải. Với trách nhiệm là những người làm công tác quản lí và chỉ đạo chuyên môn, cũng là những người trực tiếp làm công tác bồi dưỡng học sinh năng khiếu ( khá, giỏi ), chúng tôi phải suy nghĩ, tìm tòi, chắt lọc và lựa chọn phương pháp dạy học phù hợp, với mục đích khắc phục những hạn chế trong quá trình dạy – học của giáo viên và học sinh; nhằm hoàn thiện về dạng toán này một cách cụ thể và chi tiết hơn. 
III, Biên pháp khắc phục :
Qua quá trình nghiên cứu, tìm tòi và trao đổi với một số đồng nghiệp để tìm ra cách giải tốt dạng bài toán mà sáng kiến kinh nghiệm đã đưa ra, chúng tôi đã lựa chọn và đưa ra hướng giải quyết các tồn tại của dạng bài toán trên bằng những biện pháp cụ thể như sau :
1, Cung cấp cho học sinh một số kiến thức về phép nhân có liên quan đến dạng toán :
 + Tích một số chẵn với một số có tận cùng là 5 thì kết quả của tích có tận cùng là chữ số 0.
 + Tích các thừa số trong đó có ít nhất một thừa số có tận cùng bằng 0 thì tích đó có tận cùng bên phải bằng 0.
 + Một số tự nhiên có tận cùng bằng 5 thì số đó chia hết cho 5.
 + Một số tự nhiên có tận cùng bằng 0 thì số tự nhiên đó chia hết cho 2 và 5. 
 + Trong một tích có chứa thừa số là 2 và có chứa thừa số là 5, thì cứ một cặp thừa số ( 2 x 5 ) cho ta một chữ số 0 tận cùng . 
2, Hình thành và xác lập rõ các thành tố có liên quan đến dạng bài tập tìm số chữ số tận cùng giống nhau trong một tích các số tự nhiên “ mà tích có chứa thừa số là 5 và có chứa thừa số là số chẵn ”.
 ở nội dung này chúng tôi đã hình thành cho học sinh về việc xác định và nắm vững các thừa số tham gia trong tích, nó thường xảy ra ở những dạng nào ?
Kiến thức cần xác định :
 + Tích chứa các thừa số đều là số lẻ trong đó có chứa thừa số là 5 (Dạng toán này không thuộc phạm vi đề cập của đề tài nên chúng tôi không đưa vào phân tích)
 + Tích có các thừa số trong đó có chứa thừa số là chẵn và chứa thừa số là 5 
( hoặc khi khai triển có chứa thừa số là 5 ) .
3, Xây dựng kĩ năng giải toán trong dạng bài toán này:
Chuyên đề 1 : Xét các trường hợp số thừa số chẵn ( là 2 ) và số thừa số là 5( sau khi phân tích) tham gia trong tích để tìm số chữ số tận cùng giống nhau trong tích đó.
* Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1 : Cho tích : A = 1 x 16 x 3 x 5 x 10 x 15 x 25 x 27 x 29 x 31 x 33 x37.
 Hỏi tích trên có bao nhiêu chữ số tận cùng giống nhau và là chữ số nào ?
Phân tích và hướng dẫn học sinh :
-Trong tích A có bao nhiêu thừa số chẵn ? ( 2 thừa số là 16 và 10 ).
-Trong tích A có bao nhiêu thừa số có tận cùng bằng 5 ? ( 3 thừa số là 5; 15; 25 ).
-Tìm cách phân tích các thừa số chẵn thành tích các thừa số chẵn khác 0 nhỏ nhất ( bằng 2 ) và các thừa số khác; phân tích các thừa số có tận cùng bằng 5 thành tích các thừa số 5 và các thừa số lẻ khác.
-Đếm các thừa số là 2 và các thừa số là 5 để tìm số chữ số tận cùng giống nhau và là chữ số nào.
Giải :
Ta thấy tích trên có thể viết :
 A = 1 x 16 x 3 x 5 x 10 x 15 x 25 x 27 x 29 x 31 x 33 x37
 A = 16 x 5 x 10 x 15 x 25 x (1 x3 x 27 x 29 x 31 x 33 x37 )
 A = 2 x2 x2 x 2 x 5 x 2 x5 x 3 x5 x 5 x 5 x (1 x 3 x 27 x 29 x 31 x 33 x 37 ).
 Như vậy căn cứ vào số thừa số là số chẵn ( là 2 ) và số thừa số là 5 ( có 5 thừa số là số chẵn ( là 2 ) và 5 thừa số là 5 ). Vậy tích trên có 5 chữ số tận cùng giống nhau và đều là chữ số 0 ( mỗi thừa số 2 nhân với mỗi thừa số 5 cho ta tận cùng một chữ số 0 ).
Ví dụ 2 : Cho tích B = ( 4 x 6 x8 x 12 ) x ( 5 x 15 x 25 x 35 x 45 x 55 x 65 ).
 Hỏi tích trên có bao nhiêu chữ số tận cùng giống nhau và là chữ số nào ?
Phân tích và hướng dẫn học sinh :
-Trong tích B có bao nhiêu thừa số chẵn ? ( 4 thừa số là 4; 6; 8 và 12 ).
-Trong tích B có bao nhiêu thừa số có tận cùng bằng 5 ? ( 7 thừa số là 5; 15; 25; 35; 45; 55; 65 ).
-Tìm cách phân tích các thừa số chẵn thành tích các thừa số chẵn khác 0 nhỏ nhất ( bằng 2 ) và các thừa số khác; phân tích các thừa số có tận cùng bằng 5 thành tích các thừa số 5 và các thừa số lẻ khác.
-Đếm các thừa số là 2 và các thừa số là 5 để tìm số chữ số tận cùng giống nhau và là chữ số nào.
Giải :
Ta thấy tích B có thể viết :
B = ( 4 x 6 x8 x 12 ) x ( 5 x 15 x 25 x 35 x 45 x 55 x 65 ) 
B = ( 2 x 2 x 2 x 3 x 2 x 2 x2 x2 x3 x2 ) x ( 5 x 3 x 5 x 5 x 5 x 7 x 5 x 9 x 5 x 11 x 5 x 13 x 5 ). Như vậy căn cứ vào số thừa số là số chẵn ( là 2 ) và số thừa số là 5 ( có 8 thừa số là số chẵn ( là 2 ) và 8 thừa số là 5 ). Vậy tích trên có 8 chữ số tận cùng giống nhau và đều là chữ số 0 ( mỗi thừa số 2 nhân với mỗi thừa số 5 cho ta tận cùng một chữ số 0 ).
Ví dụ 3 : Tích các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 50 tận cùng có bao nhiêu chữ số 
 giống nhau và là chữ số nào ? 
Giải :
Trong tích này thì số thừa số chẵn bằng số thừa số lẻ và bằng 50 : 2 = 25 ( thừa số ). Trong các thừa số lẻ, số thừa số có tận cùng bằng 5 là : 5; 15; 25; 35; 45. Các thừa số này chia hết cho 5 và có thể phân tích thành các thừa số như sau :
5 = 5 x 1; 15 = 3 x 5; 25 = 5 x5; 35 = 7 x5; 45 = 9 x 5. ( 1 )
Trong tích trên còn có các thừa số tận cùng bằng 0 là : 10; 20; 30; 40; 50, các thừa số này phân tích thành các thừa số như sau : 10 = 2 x5; 20 = 2 x 2 x 5; 30 = 2 x 3 x 5; 40 = 2 x 2 x2 x5; 50 = 2 x 5 x 5. ( 2 ).
Từ ( 1 ) và ( 2 ) thì trong tích có 12 thừa số 5 và trong tích rất nhiều thừa số 2 ( vì một số chẵn cho ta ít nhất một thừa số bằng 2 khi phân tích ). Vì số thừa số là 5 có 12 thừa số ít hơn số thừa số là 2 của tích. Vậy tích trên có 12 chữ số tận cùng giống nhau và là chữ số 0.
Ví dụ 4 : Cho tích : 1 x 8 x 3 x 5 x 10 x 15 x 25 x 27 x 29 x 31 x 33 x37.
 Hỏi tích trên có bao nhiêu chữ số tận cùng giống nhau và là chữ số nào ?
Nếu không chú ý đến thừa số chẵn mà chỉ dựa vào thừa số là 5 thì bài toán này cũng tính được 5 chữ số tận cùng của tích giống nhau và đều là chữ số 0 ( trường hợp này sai với kết quả thực của tích ).
Như vậy phải giải bài toán theo biện pháp đưa ra của sáng kiến và xét đến yếu tố các thừa số là số chẵn tham gia trong tích.
Giải :
Ta thấy tích trên có thể viết :
 1 x 8 x 3 x 5 x 10 x 15 x 25 x 27 x 29 x 31 x 33 x 37 
= 8 x 5 x 10 x 15 x 25 x (1 x 3 x 27 x 29 x 31 x 33 x37 )
= 2 x 2 x 2 x 5 x 2 x5 x 3 x5 x 5 x 5 x ( 1 x 3 x 27 x 29 x 31 x 33 x 37 ). 
Như vậy căn cứ vào số thừa số là số chẵn và số thừa số là 5 ( có 4 thừa số là số chẵn và 5 thừa số là 5 ). Vậy tích trên có 4 chữ số tận cùng giống nhau và đều bằng 0. 
*( Bài này phải căn cứ vào số lượng các thừa số là số chẵn chứ không căn cứ theo các thừa số là 5 được, vì nếu không chú ý đến yếu tố thừa số chẵn của tích thì dễ dẫn đến giải bài toán sai. Bởi trong một tích cứ một cặp thừa số chẵn và một thừa số là 5 thì cho ta kết quả là một chữ số 0 tận cùng bên phải.
Để chứng tỏ vai trò tham gia của các thừa số là số chẵn và thừa số là 5 trong tích ta có thể tham khảo thêm các ví dụ sau :
Ví dụ 5 : Cho tích C = 1 x 8 x 3 x 5 x 10 x 15 x 27 x 29 x 31 x 33 x37.
 Hỏi tích trên có bao nhiêu chữ số tận cùng giống nhau và là chữ số nào ?
Giải :
Ta thấy tích trên có thể viết :
C = 1 x 8 x 3 x 5 x 10 x 15 x 27 x 29 x 31 x 33 x37
C = 8 x 3 x 5 x 10 x 15 x (1 x 3 x 27 x 29 x 31 x 33 x37) 
C = 2 x 2 x 2 x 5 x 2 x5 x 3 x5 x ( 1 x 3 x 27 x 29 x 31 x 33 x 37 ). 
Như vậy căn cứ vào số thừa số là số chẵn ( là 2 ) và số thừa số là 5 ( có 4 thừa số là số chẵn ( là 2 ) và 3 thừa số là 5 ). Vậy tích trên có 3 chữ số tận cùng giống nhau và đều là chữ số 0.
	*( Bài này số lượng các thừa số là 5( bằng 3 ) ít hơn số thừa số chẵn là 2 ( bằng 4 ) nên có 3 chữ số tận cùng giống nhau và đều là chữ số 0 ).
Ví dụ 6 : Cho tích : D = 1 x 4 x 3 x 5 x 10 x 15 x 25 x 27 x 29 x 31 x 33 x37.
 Hỏi tích trên có bao nhiêu chữ số tận cùng giống nhau và là chữ số nào ?
Giải :
Ta thấy tích trên có thể viết :
D = 1 x 4 x 3 x 5 x 10 x 15 x 25 x 27 x 29 x 31 x 33 x37 
D = 4 x 5 x 10 x 15 x 25 x ( 1 x 3 x 27 x 29 x 31 x 33 x37 ) 
D = 2 x2 x 5 x 2 x5 x 3 x5 x 5 x 5 x ( 1 x 3 x 27 x 29 x 31 x 33 x 37 ). 
Như vậy căn cứ vào số thừa số là số chẵn ( là 2 ) và số thừa số là 5 ( có 3 thừa số là 2 và 5 thừa số là 5 ). Vậy tích trên có 3 chữ số tận cùng giống nhau và đều là chữ số 0.
*( Bài này phải căn cứ vào số lượng các thừa số là số chẵn chứ không căn cứ theo các thừa số là 5 được, vì thừa số chẵn ít hơn thừa số 5 ). 
Ví dụ 7 : Cho tích P = 2000 x 2001 x 2002 x  x 2008 x 2009. Hỏi P có bao 
 chữ số 0 tận cùng bên phải ?
Giải
Ta thấy tích P có thể viết :
P = 2000 x 2001 x 2002 x  x 2008 x 2009 
P = 2000 x 2002 x2004 x 2005 x 2006 x 2008 x 2001 x 2003 x 2007 x 2009 
P = 16 x 5 x 5 x 5 x 2002 x2004 x 401 x 5 x 2006 x 2008 x 2001 x 2003 x 2007 x 2009. Ta thấy tích này có số thừa số chẵn nhiều hơn số thừa số 5 ( sau khi phân tích ) nên số chữ số 0 tận cùng bên phải của tích phụ thuộc vào số thừa số 5 tham gia trong tích. ( Tích có 4 thừa số là 5 ) vậy tích trên có 4 chữ số 0 tận cùng về bên phải.
Qua các ví dụ trên chứng tỏ vai trò thừa số chẵn trong tích không thể không lấy làm căn cứ để tính số chữ số tận cùng giống nhau ( số 0 ) trong một tích các số tự nhiên.
 kết luận cho chuyên đề 1 : Trên cơ sở xây dựng chúng tôi đã rút ra được kết luận chung như sau :
Khi giải dạng toán tìm số chữ số tận cùng giống nhau trong một tích các số tự nhiên “ mà tích có chứa thừa số là 5 và có chứa thừa số là số chẵn ”, thì cần :
Bước 1 : + Viết các thừa chẵn và các thừa số có tận cùng bằng 5 về một phía, các thừa số lẻ còn lại về một phía.
Bước 2 : 
 + Phân tích các thừa số có tận cùng bằng 5 thành các thừa số 5 và các thừa số lẻ khác.
 + Phân tích các thừa số chẵn thành các thừa số chẵn khác 0 nhỏ nhất ( bằng 2 ) và các thừa số khác. 
Bước 3 : 
 + Đếm số thừa số 2 và số thừa số 5 để kết luận tích có bao nhiêu chữ số tận cùng giống nhau và là chữ số 0. Số chữ số 0 tận cùng của tích rơi vào một trong 3 trường hợp sau :
 * Trường hợp 1 : Nếu số lượng thừa số chẵn ( là 2 ) và số lượng thừa số 5( sau khi phân tích ) bằng nhau thì số chữ số 0 tận cùng của tích chính bằng số thừa số chẵn ( hoặc chính bằng số thừa số 5 ) tham gia trong tích .
 * Trường hợp 2 : Nếu thừa số chẵn ( là 2 ) tham gia trong tích ( sau khi phân tích ) ít hơn số thừa số 5 thì số chữ số 0 tận cùng của tích chính bằng số thừa số chẵn ( là 2 ) tham gia trong tích ( sau khi phân tích).
 * Trường hợp 3 : Nếu thừa số 5 tham gia trong tích ( sau khi phân tích ) ít hơn số thừa số chẵn ( là 2 ) thì số chữ số 0 tận cùng của tích chính bằng số thừa số 5 tham gia trong tích ( sau khi phân tích).
Từ cơ sở chuyên đề 1 chúng ta có thể xây dựng thành chuyên đề 2 cho dạng toán này như sau :
* Chuyên đề 2: Xét số lượng “ Cặp thừa số 2 x 5 ” có trong tích ( sau khi phân tích ) để tính số chữ số tận cùng giống nhau ( số 0 ) ở trong tích đó.
* Xuất phát điểm:
Ta có :
1, ( 100 có 2 chữ số 0 tận cùng).
Ta thấy 100 là tích của 10 x 10 = ( 2 x 5 ) x ( 2 x 5 ). 
Xét : ( trong tích này có 2 cặp thừa số “2 x 5” ), mà cứ một cặp thừa số 2x 5 thì cho ta kết quả tận cùng là một chữ số 0. Vậy tích ( 2x 5 ) x ( 2 x 5 ) có tận cùng bên phải là 2 chữ số 0.
2, ( 1500 có 2 chữ số 0 tận cùng ).
Ta thấy 1500 là tích của 10 x 10 x 15 = (2 x 5 ) x ( 2 x 5 ) x ( 3 x 5 ). 
Xét : ( trong tích này có chứa 2 thừa số là 2 và có chứa 3 thừa số là 5 nên chỉ thành lập được 2 cặp thừa số “2 x 5” ), mà cứ một cặp thừa số 2 x 5 thì cho ta kết quả tận cùng là một chữ số 0