So sánh giá trị của một biểu thức với một số

 So sánh giá trị của một biểu thức với một số
 ----------------------@&?---------------------- 
Đặt vấn đề:
 Sau khi học các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa đối với phân số, các em lớp 6 được làm quen với dạy học toán “So sánh giá trị của một biểu thức với một số” dựa vào tính trực tiếp giá trị của biểu thức đó. Tuy nhiên cách này chỉ thực hiện được đối với các biểu thức đơn giản, còn lại chủ yếu phải dùng đến cách tính gián tiếp qua các biểu thức trung gian. Do vậy dạng toán này là một vấn đề khó đối với đa số học sinh nói chung, học sinh lớp 6 nói riêng, nhưng nó là một vấn đề hấp dẫn có tính khám phá kiến thức và vận dụng linh hoạt các kiến thức khác vào thực hiện bài toán này, nó gây được hứng thú học tập ở học sinh, đặc biệt là đối tượng học sinh khá giỏi
 Qua quá trình dạy học loại toán này tôi thấy rất có ích cho học sinh trong việc khám phá kiến thức mới. Với suy nghĩ đó tôi đã mạnh dạn áp dụng trong dạy học cho học sinh, đặc biệt là dạy học ôn thi học sinh giỏi một số bài toán rất lí thú về dạng toán này.
 B. Nội dung:
 I. Một số bài toán và cách thực hiện
 Bài toán 1: Chứng minh rằng: < 1
 Cách giải 1: Tính trực tiếp giá trị của vế trái:
 Ta có: A = = = = < 1
 Hay < 1 (đfcm)
 - Với bài toán này việc tính trực tiếp giá trị của vế trái từ đó kết luận chung về bài toán chưa phải là khó khăn, nhưng gặp bài toán vế trái là tổng của rất nhiều số hạng thì không phải là đơn giản. Chính vì thế cần phải có các cách thực hiện khác để đơn giản vấn đề. 
 Cách giải 2: Ta có: A = = 
Đến đây ta phân tích một số thành hiệu của 2 số khác. Ví dụ: = 1 - ; = - ; 
Ta được: A = 1 - = 1 - < 1
 Hay < 1 (đfcm)
 Cách giải 3: Ta có: A = 2A = 1 + 
 A = 2A - A = 1 - < 1
 Hay < 1 (đfcm)
 Bài toán 2: Chứng minh rằng: < 
 Như bài toán 1 đã nói việc tính giá trị vế trái cực kì khó khăn. Như vậy cần phải sử dụng gián tiếp qua biểu thức trung gian.
 Cách giải: Đặt B = 3B = 1 + 
 2B = 3B - B = (1 + ) - ()
 = 1 + 
 2B < 1 + 
Lại đặt N = 3N = 1 + 
 2N = 3N - N = (1 + ) - ()
 = 1 - < 1 hay 2N < 1 N < 
 2B < 1 + N < 1 + = B < : 2 hay B < 
Hay < (đfcm)
 Bài toán 3: Chứng minh rằng: < 
 Tương tự bài toán 2, ta phát triển thêm bài toán 3:
 Cách giải: Đặt C = 
 3C = 
 2C = 3C - C = () - () 
 = 
 2C < . Theo bài toán 2, ta có: < 
 2C < hay C < hay < (đfcm)
 Như vậy ở bài toán 1 có thể tính trực tiếp một cách khá đơn giản như ở cách 1 cũng có thể biến đổi “khéo léo” như ở cách 2 và cách 3. Tuy nhiên sang bài toán 2 và bài toán 3 thì việc tính trực tiếp không hề đơn giản và hoàn toàn không sử dụng được “kỉ thuật” như ở cách 2 bài toán 1. “Kỉ thuật” dùng trong cách 3 của bài toán 1 có vẻ phức tạp hơn so với cách 2 nhưng lại tỏ ra rất hiệu quả. Hơn nữa nhờ vào nó mà ta có thể tổng quát được ba bài toán này như sau:
Với mọi số a, n là số nguyên dương; a 1, ta có:
 1, < 
 2, < 
 3, < 
 II. Các bài tập tương tự:
 Bài 1: Chứng minh rằng: < 
 Bài 2: Chứng minh rằng: < 
 Bài 3: Chứng minh rằng: < 
 C. Kết luận:
 Trong quá trình giảng dạy tôi đã đưa ra dạng toán này và các cách thực hiện như trên nhìn chung đa số học sinh khi thực hiện thì thấy kỉ năng biến đổi của các em còn non, nên dạng toán này thường gây không ít khó khăn và không giải thích được. Vì vậy việc áp dụng dạng toán trên vào dạy học các giờ luyện tập và bồi dưỡng học sinh giỏi sẽ giúp cho các em có tự tin vào các bước biến đổi của mình từ đó việc biến đổi các biểu thức số hình thành ở các em nhiều hơn. Với dạy học dạng toán này tôi thấy được ở học sinh hình thành được tính phát hiện vấn đề tốt hơn, kỉ năng biến đổi ở các em dần dần linh hoạt và chặt chẽ hơn, trên cơ sở đó các em giải các bài toán mang tính biến đổi được tốt hơn. Hơn thế nữa giúp cho các em không ngại khó khi gặp các bài toán phức tạp, gây được ở các em hứng thú học tập.
 Trên đây là một là một số bài toán trong rất nhiều các dạng toán biến đổi mà tôi đã mạnh dạn đưa vào trong dạy học nhằm đưa ra cho các đồng chí tham khảo bổ sung, góp ý kiến thêm để cho tôi hoàn thiện hơn trong chuyên môn.
 Tháng 4 năm 2010