Sử dụng phương pháp tương tự để mở rộng và giải một số bài toán liên quan đến chứng minh hệ thức trong tam giác

ĐẶT VẤN ĐỀ:
Trong giải Toán, việc xét tương tự từ một bài toán thông qua đặc điểm đặc biệt trong bài toán đó để mở rộng hoặc phát biểu bài toán ở dạng khác có thể đưa lại cho ta một bài toán hay, một cách nhìn nhận mới về bài toán - giúp các em củng cố nhiều kiến thức hơn và rèn luyện được kỹ năng giải toán tốt hơn. Vấn đề này cũng phù hợp với lý luận dạy học đi từ cái cụ thể, đơn giản, bằng phương pháp tương tự để phát triển lên thành những vấn đề khó hơn, tổng quát hơn, toàn diện hơn phù hợp với năng lực và trình độ nhận thức của học sinh.
Ở chương trình THCS nói chung mà cụ thể hình học lớp 8, việc rèn luyện cho các em kỹ năng mở rộng các bài tập cụ thể sẽ đưa lại rất nhiều hiệu quả: Học sinh có kỹ năng và thói quen xem xét bài toán ở các góc độ khác nhau; củng cố cho học sinh được các kiến thức khác nhau. Ví dụ: Nếu ta xét đến một đề toán lien quan đến tam giác, thì hãy vận động học sinh sau khi giải xong đề toán đó, tương tự để xét tam giác đó là cân, đều, nó có tính chất đó hay không. Khi xét một điểm H là trực tâm của tam giác để chứng minh một tính chất nào đó thì vận động học sinh xét xem nếu H là trọng tâm, giao của ba đường phân giác,  nó có tính chất đó hay không; 
Mặt khác, học sinh thường có thói quen giải bài toán là giải một bài tập cụ thể, nếu gặp dạng khác thì không biết sử dụng phương pháp tương tự để đưa bài toán về dạng dễ hơn, đơn giản hơn, quen thuộc hơn, để thu được kết quả mạnh hơn.
Thực tế tại trường tôi dạy, việc mở rộng bài toán, tương tự hoá và tổng quát hoá bài toán đối với học sinh còn đang xa lạ và mới mẻ với các em; đối với các em, việc giải một bài toán chỉ bó hẹp trong nội dung bài toán đó, chưa có sự phát triển, thay đổi dữ kiện, tương tự các bài đã giải hoặc tổng quát một bài cụ thể thành những bài tổng quát hơn. Thực tế, trước khi áp dụng đề tài này cho một nhóm học sinh khá của trường tôi đã đưa ra một bài toán khảo sát là: Ba đường trung tuyến AA, BB, CC của DABC cắt nhau tại G. Chứng minh rằng:
 + + = 1; từ bài toán hãy tương tự cho một bài toán khác hoặc đưa ra một bài toán tổng quát hơn, tôi thu được kết quả:
Tổng số học sinh khảo sát: 	25 em
Số HS ngại khi gặp bài toán này:	68% (17/25 em);
Tỉ lệ HS thực hiện được bài toán khảo sát:	20% (5/25 em);
Tỉ lệ HS tự mở rộng bài toán:	04% (1/25 em).
Rõ ràng đa số các em (17/25) rất ngại khi gặp vấn đề này, số em thực hiện được lời giải của bài toán khảo sát chỉ là 5/25 em và chỉ duy nhất có 1/25 em đưa ra được bài toán tương tự đơn giản của bài toán. Từ các kết quả thực tế của việc khảo sát và bằng kiến thức hạn hẹp của mình, tôi mạnh dạn đưa ra vấn đề: “Sử dụng phương pháp tương tự để mở rộng và giải một số bài toán liên quan đến chứng minh hệ thức trong tam giác”
Ở nội dung của đề tài này, tôi chỉ nêu lên vấn đề áp dụng các tính chất của tam giác để chứng minh một số hệ thức mà trong quá trình dạy hình học 8 tôi đã rút ra và đạt được một số kết quả nhất định.
A
 C 
 B 
 A 
B
C
G
GIẢI QUYÊT VẤN ĐỀ:
Trước hết ta xét bài toán mở đầu sau đây:
 Bài toán 1: Ba đường trung tuyến AA, BB, CC 
của DABC cắt nhau tại G. Chứng minh rằng:
 + + = 1.
Chứng minh:
Dựa vào tính chất ba đường trung 
tuyến trong tam giác, ta thấy ngay:
 = = = .
Từ đó ta có + + = 1.
Nếu xét tương tự, với ba đường cao trong một tam giác cắt nhau tại điểm H, ta có bài toán 2 như sau:
 Bài toán 2: Cho tam giác ABC (ba góc nhọn), ba đường cao AA, BB, CC cắt nhau tại điểm H. Chứng minh rằng:
 A 
A
B
C
 C 
 B 
H
 + + = 1.
Chứng minh:
 Ta có: S = 
 S = .
 Suy ra: = . = .
Chứng minh tương tự ta cũng có:
 = ; 	 = .
 Vậy: + + = = = 1.
Mở rộng bài toán, ta xét giao của ba đường trung trực của một tam giác, ta có bài toán 3:
Bài toán 3: Ba đường trung trực của một tam giác (có ba góc nhọn) cắt nhau tại điểm T. Các tia AT, BT, CT kéo dài cắt lần lượt BC, AC, AB tại A, B, C . Chứng minh rằng: + + = 1.
Chứng minh:
Ta chứng minh bài toán này cũng dựa vào diện tích tam giác và kiến thức về tam giác 
đồng dạng.
 Gọi h là độ dài đường cao thuộc đỉnh T của DBTC và h là độ dài đường cao ứngvới đỉnh A của DABC. Ta có:
S = ;S = .
A
 A 
 B 
 C 
 C 
 B 
 T 
H’
Suy ra:	 = . = .
 Mặt khác, DTH’A ∽ DAHA,
 suy ra: 
 = = . 
Vậy: = .
Chứng minh tương tự ta cũng có: 
 = 	và 	 = .
 Từ đó suy ra: 	 + + = = = 1. (đpcm).
	Nếu xét tương tự với giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác thì ta cũng có bài toán:
 	Bài toán 4: Ba đường phân giác trong AA, BB, CC của tam giác ABC cắt nhau tại P. Chứng minh rằng: 	 + + = 1.
Ở bốn bài toán trên, ta chỉ xét các điểm đặc biệt trong tam giác. Tuy nhiên, ở đây ta mở rộng bài toán đến việc xét một điểm O bất kỳ nắm trong tam giác và ta chứng minh tính chất tương tự như ở các bài toán trên. Ta xét bài toán 5:
Bài toán 5: Cho DABC có ba góc nhọn và O là một điểm bất kỳ nằm trong tam giác đó. Các tia AO, BO, CO kéo dài cắt BC, AC và AB lần lượt tại A, B, C. Chứng minh rằng: 	 + + = 1.
Chứng minh:
Chứng minh tương tự bài toán 3, ta có:
 H 
A
B
C
H
 O 
 B 
 C 
O
 = = ;
 = ;	 = .
 Từ đó suy ra: + + = + + = 
= = = 1 (đpcm).
Mở rộng bài toán, với bài toán mới có cách phát biểu khác nhưng hoàn toàn tương tự như các bài toán trên. Ta có bài toán 6:
C’
A
C
B’
B
H
 B 
 C 
 A 
Bài toán 6: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với ba đường cao AA’, BB’, CC’ cắt nhau tại H. A, B, C là các điểm đối xứng của H qua BC, AC và AB. Chứng minh rằng tổng: 	 + + không đổi.
Chứng minh:
 Xét tỉ số  : 
ta có: = =
 	= 1 + = 1 + .
 (Vì H và A đối xứng với nhau qua BC 
nên HA’ = A’A). 
Áp dụng kết quả của bài toán 2 ta có :
 	 = Þ = 1 + 	(1)
Tương tự ta cũng có :
 	 = 1 + 	(2)
 	 = 1 + 	(3)
Cộng vế với vế các đẳng thức (1), (2), (3), ta được :
 	 + + = 3 + = 3 + = 3 + 1 = 4.
Vậy tổng + + không đổi.
Tương tự bài toán 6, ta có các bài toán khác như sau (cách giải hoàn toàn tương tự).
 Bài toán 7: Ba đường trung tuyến AA, BB, CC của tam giác ABC cắt nhau tại G. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là các điểm đối xứng của G qua A, B và C. Chứng minh rằng: 	 + + = 4.
Ta phát biểu tương tự đối với điểm trong tam giác là giao điểm của ba đường trung trực, và điểm O bất kỳ trong tam giác.
 Ở bài toán 7, ta xét thêm điểm đối xứng của điểm G qua các tâm là A, B, C. Bây giờ ta xét các điểm đối xứng của G qua trục BC, AC và AB. Ta có bài toán sau:
 Bài toán 8: Ba đường trung tuyến AA, BB, CC của tam giác ABC cắt nhau tại G. Gọi A’, B’ và C’ lần lượt là các điểm đối xứng của G qua các đường thẳng BC, AC và AB. Chứng minh rằng:	 + + = 1.
A
B
C
 B 
 C 
 B 
G
B’
C’
A’
Chứng minh:
Với tính chất đối xứng, ta có ngay:
 	AA’ = GA;
 	BB’ = GB;
 	CC’ = GC.
Từ đó từ bài toán 1 ta có diều phải 
chứng minh.
Trường hợp điểm nằm trong tam giác
làtrực tâm của tam giác, khi đó điểm đối 
xứng tâm qua A, B, C của H và điểm
đối xứng trục qua các đường thẳng BC, AC, AB của điểm H là trùng nhau và ta đã xét ở bài toán 6.
Như vậy, từ bài toán mở đầu (Bài toán 1), thông qua việc xét tương tự, ta đã xét các bài toán khác có yêu cầu tương tự nhau và dần dần ta đã giải được bài toán có kết quả mạnh hơn, tổng quát hơn.
KẾT QUẢ:
Qua thực tế giảng dạy một số năm ở toán lớp 8 và thực tế triển khai đề tài cho một nhóm học sinh bằng cách áp dụng phương pháp trên khi dạy về chương trình hệ thức trong tam giác và các bài toán mở rộng; cụ thể hơn là sau khi thực hiện đề tài, toi đã tiến hành khảo sát tiếp với nhóm đối tượng học sinh trên thì thu được kết quả sau: 
* Sau khi thực hiện đề tài:
Tỉ lệ HS có hứng thú với nội dung:	80% (20/25 em);
Tỉ lệ HS thực hiện được bài toán khảo sát:	60% (15/25 em);
Tỉ lệ HS tự mở rộng bài toán:	28% (7/25 em).
Rõ ràng, chưa xét đến việc chất lượng các bài tập mà các em mở rộng được và lời giải của nó nhưng việc các em đã có hứng thú với nội dung, biết cách tự mình mở rộng bài toán, ... đã là một thành công to lớn trong việc dạy học của bản thân
Ngoài ra, kết quả đạt được còn ở chỗ là thông qua đó, GV củng cố, tổng hợp lại được nhiều kiến thức liên quan mà khi tìm hiểu bài toán có thể gặp đến - Giúp HS nắm vững hơn các kiến thức đã học.
KẾT LUẬN VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM:
Qua áp dụng thực tế, bản thân đã thu được một số kết quả nhất định: Học sinh có hứng thú với môn hình học hơn; khả năng thực hiện các yêu cầu chứng minh tốt hơn, và đặc biệt đã tạo cho các em được thói quen mở rộng các bài toán trong quá trình giải toán và từ đó, khi gặp một bài toán, các em có thói quen xem xét một bài toán tương tự nhưng đặc biệt hơn, cụ thể hơn để tìm ra cách giải cho bài toán đó. Đây chính là cơ sở cho việc sử dụng phương pháp đặc biệt hóa. Từ đó góp phần nâng cao hiệu quả giảng dạy của giáo viên, tạo cho học sinh ý thức tự học, tự khám phá ra kiến thức mới.
Bên cạnh đó, để nâng cao hơn nữa hiệu quả của đề tài, mỗi người giáo viên, mà cụ thể là giáo viên dạy toán còn cần làm tốt hơn các vấn đề sau:
- Cần cũng cố thật vững chắc các kiến thức cơ bản của học sinh, tìm và thiết lập mối liên hệ giữa các kiến thức mà các em được học, từ đó làm cơ sở cho các em tìm ra sự tương tự và những kết quả tổng quát cho từng bài toán cụ thể đưa ra.
- Trong mỗi bài tập mà giáo viên đưa ra, cần luôn luôn yêu cầu và khuyến khích các em có thói quen mở rộng bài toán, tìm các kết quả tương tự hoặc mạnh hơn, tăng cường thói quen giải toán và đưa việc giải toán lại gần hơn với việc học của các em.
- Đi đôi với phương pháp trên là phương pháp tương tự hoá, khi các em gặp một bài toán khó, cần hướng dẫn các em đưa nó về dạng đặc biệt hơn, cụ thể hơn, quen thuộc hơn để giải, từ bài toán tương tự đó, tìm ra mấu chốt để giải bài toán mình cần.
E. KIẾN NGHỊ - ĐỀ XUẤT:
Đề tài trên của tôi chỉ là một kinh nghiệm nhỏ trong việc nâng cao hiệu quả của việc giải toan, một thành tố quan trong của việc dạy học toán. Nội dung đề tài chỉ bó hẹp trong các bài toán trong chương trình môn toán lớp 8 cấp THCS và có thể vận dụng được để hướng dẫn học sinh giải toán nói chung.
Để có thể vận dụng tốt hơn nữa các vấn đề mà tôi dưa ra, toi xin kiến nghị thêm một số ý kiến như sau:
- Đối với cấp chuyên môn của Trường và Phòng GD: Cần có thêm các buổi chuyên đề nâng cao chất lượng dạy học, trong đó có triển khai việc hướng dẫ giáo viên sử dụng các phương pháp tương tự hoá, tổng quát hoá, ... để hướng dẫn học sinh học toán và giải toán nói riêng.
- Trong các nội dung đề kiểm tra, đề thi, cần tăng cường ra các bài toán có tính mở cao để tạo điều kiện cho các em được vận dụng kiến thức của mình giải quyết bài toán theo nhiều hướng, từ đó rèn cho các em không học thuộc máy móc các lời giải mà giáo viên hướng dẫn.
Ngoài ra, ở cấp độ chuyên môn của Trường, cần tạo điều kiện mở cho giáo viên trong việc lên chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi, dạy ôn tập cho các em học sinh để từ đó giáo viên có thể chủ động soạn giảng, tránh tình trạng rập khuôn theo một khuôn mẫu nhất định.
Tuy nhiên, nội dung đưa ra chắc chắn chưa đầy đủ và sâu sắc, chưa tổng quát. Rất mong được sự góp ý phê bình của đồng nghiệp và mọi người để đề tài hoàn thiện hơn, góp phần có ích hơn đối với bản thân và đồng nghiệp trong quá trình giảng dạy và hướng dẫn học sinh.