Tìm nhiều lời giải của một bài toán

“ tìm nhiều lời giải của một bài toán ”
đặt vấn đề:
 Khi học toán mỗi học sinh đều gặp phải những khó khăn riêng của mình. Điều này rất dễ hiểu vì các em không có phương pháp học tốt, khi giải toán đa số chỉ muốn dừng lại ở chỗ: ‘‘ Tìm ra được lời giải và có đáp số đúng ”. Nếu vậy thì cho dù có giải được hàng trăm bài toán kiến thức mà trò thu lượm được cũng chẳng là bao so với giải ít bài tập hơn mà luôn suy nghĩ để tìm ra những cách giải khác. Sự đam mê và luôn suy nghĩ để tìm ra những cách giải khác là một trong những con đường tốt nhất để đi lên trong học toán.
 Bài viết này tôi muốn giúp các em có một định hướng đúng đắn khi giải toán và nhắn nhủ thêm rằng: Một bài toán có vẻ là bình thường, thật là quen thuộc nhưng ở đó có nhiều điều hấp dẫn đang đón chờ các em vàsẵn sàng đưa các em đến cái nơi mà các em cần phải đến. 
 B- CƠ Sở Lí LUậN.
 Trong chương trình phổ thông bài toán cực trị chiếm một vị trí khá quan trọng. Đặc biệt ta thường gặp nó trong các kỳ thi như: Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT, kỳ thi chọn học sinh giỏi các cấp, kỳ thi tuyển sinh vào đại học Để tiếp cận được với bài toán cực trị là một con đường không dễ nhưng là một con đường giúp học sinh phát huy tính sáng tạo và đạt kết quả cao trong toán học.
 C- Cơ sở thực tiễn 
 Qua nhiều năm học tập, công tác, giảng dạy và được giao nhiệm vụ bồi dưỡng học sinh giỏi.Tôi thấy việc giúp học sinh tìm nhiều lời giải cho một bài toán là một vấn đề hết sức quan trọng, nó không những giúp học sinh có cách nhìn bài toán tổng quát hơn mà còn đem lại kết quả cao trong các kỳ thi Với những cơ sở trên tôi xin mạnh dạn đưa ra sáng kiến “ Tìm nhiều lời giải của một bài toán” 
 D- nội dung.
 I- Một số cơ sở lí thuyết.
 1. Bất đẳng thức Cô si.
 Cho dãy số thực không âm: a1, a2,,..., an ta có.
 . 
Dấu bằng xảy ra khi: .
 2. Bất đẳng thức Bunhiacovski.
 Cho hai dãy số thực: a1, a2, , an và dãy b1, b2,bn . khác không ta có.
 . 
Dấu bằng xảy ra khi: .
 3. Bất đẳng thức Schwarz ( S vác).
 Cho hai dãy số thực dương a1 , a2 , , an và b1 , b2 ,  , bn . ta có.
 . 
Dấu bằng xảy ra khi: .
 Chứng minh: 
Theo BĐT Bunhiacovski ta có. 
Dấu bằng xảy ra khi: 
 ( ĐPCM ) 
 4. Một số hệ quả của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.
 a. . Với . Dấu bằng xảy ra khi: . (1)
 b. . Với . Dấu bằng xảy ra khi: . (2)
 c. . Với . Dấu bằng xảy ra khi: (3) 
 d. . Với . Dấu bằng xảy ra khi: . (4)
 e. . Với . Dấu bằng xảy ra khi: . (5)
 f. . Với . Dấu bằng xảy ra khi: . (6)
 g. . Với . Dấu bằng xảy ra khi: . (7)
 h. . Với . Dấu bằng xảy ra khi: . (8)
 k. . Với . Dấu bằng xảy ra khi: . (9)
 l. . Với . 
Dấu bằng xảy ra khi: . (10) 
 m. . Với . Dấu bằng xảy ra khi: . (11)
 n. . Với .
 Dấu bằng xảy ra khi: . (12) 
 II- Bài tập áp dụng.
 Bài toán 1.
 Cho x, y là các số thực dương lớn hơn 1. Hãy tìm GTNN của biểu thức. 
 +) Phân tích và dự đoán trước kết quả.
 - Vai trò của x, y như nhau nên theo kinh nghiệm giải một số bài toán cực trị. Khi biểu thức P đạt GTNN thường thì 
 - Khi ta có . Dấu bằng xảy ra khi 
 - Để biết dự đoán trên đúng hay sai chúng ta hãy kiễm tra dự đoán trên bằng cách giải sau:
 Cách 1. 
 áp dụng hệ quả (6) vào giải bài toán ta có. 
 . Theo kết quả trên ta có. 
 . Vậy ta có Pmin= . Khi 
 Như vậy phân tích dự đoán kết quả trên là đúng đắn. Từ phân tích dự đoán kết quả trên cho phép chúng ta nghĩ đến một số cách giải sau:
 Cách 2. 
 Làm tương tự cách 1. 
 Vậy Pmin= . Khi 
 Cách 3. 
 Làm tương tự cách 1. . 
áp dụng BĐT S vác vào giải bài toán ta có. 
 . 
Tiếp tục áp dụng hệ quả (2) vào giải bài toán ta có.
 .
 Vậy Pmin . Khi 
 Cách 4.
 Làm tương tự cách 1. 
áp dụng BĐT Cô si vào giải bài toán ta có.
 Vậy Pmin. Khi 
 Cách 5. 
 Củng làm tương tự cách 1. 
Đặt . Ta có. 
áp dụng hệ quả (2) vào giải bài toán ta có.
 Vậy Pmin . Khi 
 Cách 6. 
 Biến đổi biểu thức: 
 áp dụng BĐT S vác vào giải bài toán ta có. 
 . ( Theo kết quả của cách 3 )
 Vậy Pmin. Khi 
 Cách 7.
 Làm tương tự cách 6. 
áp dụng BĐT cô si vào giải bài toán ta có.
 . ( Theo kết quả của cách 4 ).
Vậy Pmin. Khi 
 Cách 8.
 Làm tương tự cách 7. 
 . ( Theo kết quả của cách 1 )
 ( vì )
Vậy Pmin. Khi 
 Cách 9. 
 Làm tương tự cách 6. 
Đặt . Ta có. 
 áp dụng BĐT Cô si vào giải bài toán ta có.
Vậy Pmin . Khi 
 Cách 10.
 Làm tương tự cách 6. 
Đặt . Ta có. 
áp dụng BĐT S vác và BĐT Cô si vào giải bài toán ta có.
áp dụng hệ quả (2) vào giải bài toán ta có.
Vậy Pmin= 8. Khi 
 Cách 11. 
 Làm tương tự cách 6 và 10. .
áp dụng hệ quả (2) vào giải bài toán ta có.
áp dụng BĐT Cô si vào giải bài toán ta có.
Vậy Pmin . Khi 
 Cách 12. 
 Làm tương tự cách 6 và 10.
áp dụng BĐT S vác và BĐT Cô si vào giải bài toán ta có.
Vậy Pmin . Khi 
 Cách 13. 
 Làm tương tự cách 6 và 10 ta có. 
áp dụng BĐT S vác vào giải bài toán ta có. 
áp dụng hệ quả (2) vào giải bài toán ta có.
Vậy Pmin . Khi 
 Cách 14.
 Theo BĐT Bunhiacovski vào giải bài toán ta có.
. ( Theo kết quả của cách 3 )
Vậy Pmin. Khi 
 Cách 15.
 Làm tương tự cách 6 và cách 10. 
áp dụng BĐT S vác vào giải bài toán ta có.
áp dụng hệ quả (1) vào giải bài toán ta có.
Vậy Pmin . Khi 
 Bài toán 2.
 Cho a, b, c là các số thực dương. Hãy tìm GTLN của biểu thức.
 +) Phân tích và dự đoán trước kết quả
 - Vai trò của a, b, c như nhau nên theo kinh nghiệm giải một số bài toán cực trị. Khi biểu thức P đạt GTNN thường thì a = b = c 
 - Khi a = b = c ta có: P . Từ phân tích dự đoán kết quả ban đầu cho phép ta nghĩ đến một số cách giải sau:
 Cách 1. 
 Ta có. 
áp dụng BĐT S vác vào giải bài toán ta có.
Vậy Pmin . Khi 
 Cách 2.
 Làm tương tự cách 1. 
áp dụng BĐT Cô si vào giải bài toán ta có.
Vậy Pmin . Khi 
 Cách 3. 
 Làm tương tự cách 1. 
 áp dụng BĐT Bunhiacovski vào giải bai toán ta có. 
Vậy Pmin . 
 Cách 4.
 Ta có. 
áp dụng BĐT S vác vào giải bài toán ta có.
áp dụng hệ quả (4) vào giải bài toán ta có.
Vậy Pmin . Khi 
 Cách 5.
 Làm tương tự cách 4.
áp dụng BĐT S vác vào giải bài toán ta có.
áp dụng hệ quả (3) vào giải bài toán ta có.
Vậy Pmin . Khi 
 Cách 6. 
 Làm tương tự cách 4. 
áp dụng BĐT S vác vào giải bài toán ta có.
Vậy Pmin . Khi 
 Cách 7.
 Đặt. . Ta có. 
áp dụng BĐT Cô si vào giải bài toán ta có.
Vậy Pmin . Khi 
 Cách 8. 
 Làm tương tự cách 7. 
Vậy Pmin . Khi 
 Cách 9.
 Làm tương tự cách 7. 
áp dụng BĐT Cô si vào giải bài toán ta có.
Vậy Pmin . Khi 
 Cách 10.
 Đặt. 
Ta có. 
 ( Theo BĐT Cô si )
Tương tự 
Cộng theo từng vế đẳng thức và hai BĐT cùng chiều ta có.
Vậy Pmin . Khi 
 Bài toán 3.
 Cho a, b là hai số thực dương thoả mãn: . Hãy tìm GTLN của biểu thức 
 +) Phân tích và dự đoán trước kết quả 
-Vai trò của a và b như nhau nên theo kinh nghiệm giải một số
bài toán cực trị. Khi biểu thức P đạt GTLN thì mà nên ta suy ra , khi đó GTLN của bài toán rất có thể là 
- Hơn nữa biểu thức có GTLN , còn biểu thức
 lại có GTNN . Do đó để giải được bài toán một cách thuận lợi đòi hỏi ta phải biến đổi tổng về tích hoặc ta phải dùng hệ quả (2) để nhóm và thành bình phương của một tổng có giá trị không đổi.
 Từ phân tích dự đoán kết quả trên cho phép ta nghĩ đến một số cách giải sau:
 Cách 1.
 Ta có. 
áp dụng hệ quả (2) vào giải bài toán ta có.
Vậy . Khi 
 Cách 2.
 Ta có. 
áp dụng hệ quả (8) và hệ quả (2) vào giải bài toán ta có. 
Vậy . Khi 
 Cách 3.
 Làm tưong tự cách 2. 
 Lại có. 
Từ đây ta suy ra. 
áp dụng hệ quả (2) vào giải bài toán ta có.
Vậy . Khi 
 Cách 4.
 Ta có. 
áp dụng hệ quả (2) vào giải bài toán ta có.
Vậy . Khi 
Cách 5. 
 Làm tương tự cách 4.
áp dụng hệ quả (8) vào giải bài toán ta có.
áp dụng hệ quả (2) vào giải bài toán ta có.
Vậy . Khi 
 Cách 6. 
 Làm tương tự cách 4.
Đặt . Ta có 
( Vì và với )
Vậy . Khi 
 Cách 7. 
 Làm tương tự cách 4. 
áp dụng hệ quả (8) và hệ quả (2) vào giải bài toán ta có.
Vậy . Khi 
 Cách 8. 
 Làm tương tự cách 4.
Đặt. . Ta có. 
áp dụng hệ quả (8) vào giải bài toán ta có.
Vậy . Khi 
 Cách 9.
 Ta có. 
áp dụng hệ quả (1) vào giải bài toán ta có.
 ( Vì )
Vậy . Khi 
 Bài toán 4.
Cho a, b, c là các thực dương thoả mãn: abc = 1. Hãy tìm GTNN của biểu thức.
 +) Phân tích và dự đoán trước kết quả.
 - Vai trò của a, b, c như nhau nên theo kinh nghiệm giải một số bài toán cực trị. Khi biểu thức P đạt GTNN thường thì mà nên ta suy ra và GTNN của biểu thức P là Pmin 
 - Vì nên nhiêm vụ của bài toán này là hoặc dùng BĐT để khử mất mẫu thức, hoặc dùng kĩ thuật biến đổi để đặt biến phụ làm đơn giản hoá bài toán. 
 Từ phân tích dự đoán trên cho phép ta nghĩ đến một số cách giải sau:
 Cách 1.
 Ta có. 
áp dụng BĐT Cô si vào giải bài toán ta có.
Vậy Pmin . Khi 
 Cách 2.
 Ta có. 
 áp dụng BĐT Cô si vào giải bài toán và thu gọn ta được.
 Vậy Pmin . Khi 
 Cách 3.
Ta có. 
áp dụng hệ quả (11) và hệ quả (7) vào giải bài toán ta có. 
áp dụng BĐT Cô si vào giải bài toán và thu gọn ta được.
 	 (*)
Lại có. (**)
 (***)
Kết hợp (*) ; (**) và (***) ta có. 
Vậy Pmin . Khi 
 Cách 4.
 Biến đổi biểu thức P ta có. 
áp dụng hệ quả (10) và hệ quả (12) vào giải bài toán ta có.
Theo hệ quả (4) ta lại có.
Từ đây ta suy ra. 
Đặt . Ta có. 
áp dụng BĐT Cô si vào giải bài toán ta có.
 ( Vì )
Vậy Pmin . Khi 
 Cách 5
 Làm tương tự cách 4. 
 ( Vì )
Vậy Pmin . Khi 
 Cách 6.
 Tương tự cách 4. 
áp dụng các hệ quả (12); (11) và (9) vào giải bài toán ta có.
Đặt . Ta có. 
áp dụng BĐT Cô si vào giải bài toán ta có.
( Vì )
Vậy Pmin . Khi 
 Cách 7. 
 Làm tương tự cách 6. . 
 Vì . Kết hợp với ta có. 
Vây Pmin . Khi 
 Cách 8. 
 Làm tương tự cách 6. 
Đặt . Ta có. 
 ( Vì )
Vậy Pmin . Khi 
 Cách 9.
 Làm tương tự cách 8. 
Đặt ta có.
 ( Vì )
Vậy Pmin . Khi 
 Cách10.
 Biến đổi biểu thức P ta có. 
áp dụng BĐT S vác vào giải bài toán ta có. 
Theo hệ quả (4) ta có. 
Từ đây ta suy ra.
Đặt ta có.
áp dụng BĐT Cô si vào giải bài toán ta có.
Vậy Pmin . Khi 
 Cách 11.
 Ta có. 
áp dụng BĐT Cô si vào giải bài toán ta có. 
áp dụng BĐT . ( Chứng minh ở cách 4 ), hệ quả (5) và hệ quả (3) vào giải bài toán ta có.
Đặt ta có.
 ( Vì ).
Vậy Pmin . Khi 
 Cách 12.
 Làm tương tự cách 11. 
Xét biểu thức: 
áp dụng BĐT Cô si và kết hợp với vào giải bài toán ta có. 
Kết hợp với trên ta suy ra 
Vậy Pmin . Khi 	
 Cách 13.
 Ta có. 
áp dụng BĐT Cô si vào giải bài toán ta có 
áp dụng BĐT Cô si và BĐT
 vào giải bài toán ta có. 
áp dụng hệ quả (5) và BĐT Cô si vào giải bài toán ta có.
 . ( Theo kết quả của cách 11 ).
Vậy Pmin . Khi 
 Cách 14. 
Ta có. 
 áp dụng BĐT . ( Chứng minh ở cách 4 ), và BĐT Cô si vào giải bài toán ta có.
 ( Vì )
 áp dụng hệ quả (5) và hệ quả (3) vào giải bài toán ta có. 
. ( Theo kết quả của cách 11 ).
Vậy Pmin . Khi 
 Cách 15. 
Ta có. 
 áp dụng BĐT Cô si và BĐT . Vào giải bài toán ta có. 
Lại có: 
 ( B ĐT Cô si )
Kết hợp với hệ quả (5) ta suy ra. 
 ( Vì )
Từ đây ta suy ra ( Vì 
áp dụng hệ quả (5) vào giải bài toán ta có.
 ( Theo kết quả của cách 11 )
Vậy Pmin . Khi .
Nhận xét: Mỗi bài toán trên đang còn nhiều cách gải khác nhau nữa, chẳng hạn đối với bài 1 làm tưong tự cách 4 hoặc cách 7 đến đoạn ta có thể áp dụng kĩ thuật Cô si nghịch đảo như sau: . Hoặc tiếp tục áp dụng kĩ thuật giải BĐT Cauchy- Schwarz đơn thuần: Cũng làm tưong tự cách 4 hoặc cách 7 đến đoạn ta biến đổi đến đây chỉ cần áp dụng BĐT Cô si một lần nữa các biểu thức trong dấu ngoặc ta có ĐS, hoặc tiếp tục 
dùng kĩ thuật Bunhiacovski hay kĩ thuật Cô si ngược dấu vv... Vì điều kiện không cho phép nên tôi dừng bài này viết tại đây. Cuối cùng mời các em tự luyện tập với một số bài tập sau:
 III- Bài tập luyện tập.
 Bài 1.
 Cho a, b, c là các số dương thoả mãn: . Hãy tìm GTNN của biểu thức.
 Bài 2.
 Cho . Hãy tìm GTLN của biểu thức.
 Bài 3. 
 Cho a, b, c là các số thực dưong thoả mãn: . Hãy tìm GTNN của biểu thức. 
 Bài 4.
 Cho a, b là hai số dương thoả mãn: . Hãy tìm GTLN của biểu thức.
 Bài 5. 
 Cho a, b, c là các số thực dưong thoả mãn: . Tìm GTNN của biểu thức. 
 HD: Chứng minh với mọi a,b,c dương có tổng bằng 3 .
E- Kết luận và kiến nghị
 Những kinh nghiệm trên được tôi rút ra trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh. Sau khi đã cung cấp những cơ sở lí thuyết và những kinh nghiệm “ Phân tích dự đoán kết quả ban đầu.’’ Tôi thấy các em không ngần ngại gì áp dụng vào giải các bài tập. Không riêng gì những em có trình độ từ khá trở lên hứng thú và giải một cách nhanh chóng, chính xác dạng toán này, mà những em học sinh trung bình cũng nắm bắt được những kiến thức cơ bản để vận dụng vào giải. Tôi hi vọng rằng đây sẽ là những kinh nghiệm quí báu, là những công cụ sắc bén giúp các em giải tốt các bài tập.
 Một bài toán hay, một dạng toán nào có thể được nhìn nhận, khai thác theo nhiều các giải khác nhau. Nhưng cái đích cuối cùng là phải đưa các em đến cái gọi là kĩ năng, kĩ xão trong giải toán Chắc chắn bài viết của tôi còn rất nhiều khuyết điểm và hạn chế. Rất mong được sự góp ý chân thành của bạn bè đồng nghiệp và tất cả mọi người say mê toán để bản sáng kiến này hoàn thiện hơn, đầy đủ hơn, phong phú và đa dạng hơn nữa ./. 
Tài liệu tham khảo. 
Nâng cao và phát triển toán 8-9. Tác giả: Vũ Hữu Bình - NXBGD
Chuyên đề Bất đẳng thức và ứng dụng. Tác giả Nguyễn Đức Tấn – NXBGD
Báo toán tuổi thơ 2, Toán học và tuổi trẻ – NXBGD Việt Nam
Sáng tạo Bất đẳng thức. Tác giả Phạm Kim Hùng – Trần Phương – Nhà xuất bản Tri Thức 
 . 
.