Hướng dẫn học sinh kẻ thêm đường vuông góc - Đường phụ trong giải toán hình học

I. Đặt Vấn Đề
1.Lí do chọn đề tài :
Các bài toán hình học có lời giải phải kẻ thêm đường vuông góc – ( Hoặc đường phụ ) là các bài toán khó đối với với học sinh THCS. Bởi vì để giải các bài toán dạng này không chỉ yêu cầu học sinh nắm vững kiến thức mà nó còn đòi hỏi học sinh cần có một kỹ năng giải toán nhất định, có sự sáng tạo nhất định. Để tạo ra được một đường vuông góc -đường phụ liên kết tường minh các mối quan hệ toán học giữa các điều kiện đã cho (giả thiết) với điều kiện cần phải tìm (kết luận) đòi hỏi phải thực hiện các thao tác tư duy: Phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự hoá, đặc biệt hoá,... Hay nói cách khác giải một bài toán phải kẻ thêm đường vuông góc và đường phụ là một sáng tạo nhỏ. Kẻ thêm đường vuông góc hoặc đường phụ để giải một bài toán hình về mặt phương pháp là một biểu hiện ở mức độ cao của kỹ năng, thể hiện các tình huống hình học phù hợp với một định nghĩa, định lý nào đó... hay còn gọi là quy lạ về quen. ở đó khoảng cách từ lạ đến quen càng xa thì mức độ sáng tạo càng lớn. Do đó việc học tốt các bài toán hình có lời giải phải kẻ thêm đường vuông góc đường phụ có tác dụng rất lớn trong việc phát triển năng lực trí tuệ và tư duy khoa học của học sinh.
Nhưng nhiều học sinh (kể cả học sinh giỏi ) vẫn lúng túng khi gặp các bài toán liên quan đến kẻ thêm đường vuông góc - đường phụ
Vậy Làm thế nào để các em tự tin hơn khi đứng trước các bài toán cần phải kẻ thêm đường vuông góc - đường phụ . Đó là lý do chọn đề tài : “ Hướng dẫn học sinh kẻ thêm đường vuông góc- đường phụ trong giải toán hình học ”
2. Mục đích sáng kiến kinh nghiệm:
* Đối với giỏo viờn:
Sử dụng làm tài liệu cho cỏc chuyờn đề.
Đỳc rỳt được cỏc kinh nghiệm, đổi mới phương phỏp dạy học, nõng cao chất lượng giỏo dục 
 * Đối với học sinh:
- Giỳp học sinh biết kẻ thêm đường vuông góc - đường phụ để giải một số bài toỏn hỡnh học 
- Tỏc động đến tỡnh cảm, đem lại niềm vui, hứng thỳ học tập cho học sinh.
- Bồi dưỡng phương phỏp tự học cho học sinh.
- Học sinh cú kỹ năng vận dụng những kiến thức đó học để giải quyết những vấn đề thường gặp - trong cuộc sống, thể hiện tớnh linh hoạt, độc lập, sỏng tạo trong học tập và trong cuộc sống 
3. Nhiệm vụ nghiên cứu :
 xác định cơ sở lý luận và thực tiễn về việc rèn lyện kỹ năng vận dụng , tính sáng tạo trong giải toán cho học sinhTHCS
4 .Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 
Khai thác một số bài toán sách giáo khoa và sách nâng cao , tài liệu tham khảo ( Có áp dụng kẻ đường vuông góc hoặc đường phụ )cho học sinh khá, giỏi 
5 .Phương pháp nghiên cứu 
+Nghiên cứu lý luận : các nghị quyết, chỉ thị của đảng và nhà nước về giáo dục các tài liệu về lý luận dạy học 
+ Nghiên cứu thực tế : Điều tra , thực nghiệm , quan sát , Đánh giá, tổng kết thực tế qua (các tiết dạy bài dạy các bài tập ..)đối tượng học sinh THCS
II . nộI dung
 * Các bước tiến hành.
 + được tiến hành chia làm hai nội dung như sau :
Phần I : kẻ thêm đường vuông góc để giải các bài toán hình học 
Phần II: kẻ thêm đường phụ để giải các bài toán hình học
A. Phần I : kẻ thêm đường vuông góc để giải các bài toán hình học 
1. Các yêu cầu khi kẻ đường vuông góc.
*Vẽ đường vuông góc phải có mục đích:
 Đường kẻ vuông góc , phải giúp cho được việc chứng minh bài toán. Muốn vậy nó phải là kết quả của sự phân tích tổng hợp, tương tự hoá, mày mò dự đoán theo một mục đích xác định là gắn kết được mối quan hệ của kiến thức đã có với điều kiện đã cho của bài toán và kết luận phải tìm. Vì vậy khi vẽ đường vuông góc phải luôn tự trả lời câu hỏi “ vẽ đường vuông góc có giải quyết được gì hay không?” "Vẽ đường vuông góc này có đạt được mục đích mình muốn không?". 
* Các biện pháp phân tích tìm ra cách vẽ đường vuông góc:
Việc kẻ thêm đường trong bài toán hình học nhằm tạo thêm những mối quan hệ giữa các yếu tố về cạnh và góc trong bài toán .Kẻ thêm đường vuông góc là một cách thường được nghĩ đến khi chưa tìm ngay được lời giải của bài toán . Kẻ thêm đường vuông góc như thế nào?vuông góc với đường nào? Kẻ thêm đường vuông góc nhằm tạo ra vấn đề gì?
Ta thường kẻ thêm đường vuông góc trong các trường hợp sau đây.
1. Kẻ đường vuông góc nhằm tạo ra nửa tam giác đều 
Thường dùng cách này khi giải toán có góc 300,600,1200, 1500
Thí dụ 1: ( lớp 8) Cho tam giác ABC có = 1200, AB= 4, AC= 6 Tính độ dài trung tuyến AM
Phân tích: Từ = 1200 ta liên tưởng tới nửa tam
giác đều mà biết một cạnh bằng 4 thì các cạnh
của nửa tam giác đều đó đều tính được mặt 
khác M là trung điểm của BC nên suy nghĩ ngay kẻ đường vuông HC ta có ngay đường trung bình tam giác nên tính ngay được HK và KM từ đó tính được AK suy ra tính được AM
Giải: Kẻ BH AC Tam giác ABH vuông Tại H có =600 nên AH ==2
áp dụng định lý pitago ta tính được BH=2 còn CH =HA +AC =2+6 =8
Kẻ MK CH thì HK = = 4 Nên AK = 2 ta lại có MK= =
Nên AM2=AK2+MK2=4+3=7 vậy AM=
2. Kẻ đường vuông góc nhằm tạo ra tam giác vuông cân
Thường dùng cách này khi giải bài toán có góc 450,1350
Thí dụ 2: ( lớp 8) Cho tam giác ABC có = 450. Chứng minh rằng diện tích của tam giác ABC bằng : 
Phân tích: Từ = 450 ta nghĩ ngay tới vẽ đường cao BH 
thì ta sẽ có ngay tam giác vuông cân và cũng tính ngay được
diện tích tam giác ABC và bài toán sẽ được giải quyết
Lời giải: 
Giả sử AC AB . kẻ BH AC ta có tam giác ABH vuông 
Cân tại H . Đặt AH =BH=m . HC=n khi đó 
AB2+AC2-BC2 = (m)2 + (m+n)2-(m2+n2) = 2m(m+n)
= 2BH. AC =4 SABC
Thí dụ 3: (lớp 8) Cho tam giác ABC có = 1350 BC=5 đường cao AH=1 tính độ dài các cạnh AB và AC
Lời giải: 
Kẻ CKAB ta có =450 nên tam giác ACK 
Vuông cân tại K . Đặt AB= x , AK=KC =y
Ta có HBA KBC (g.g) nên
= = xy= 5 (1)
xét tam giác BKC vuông ta có 
BK2+KC2=BC2 x2+2xy+2y2=25 (2)
 Từ (1) và (2) ta tìm được (x;y) =(;)
Hoặc (x;y) =(;) Từ đó suy ra AB = ; AC = hoặc AC = ; AB = 
3. Kẻ đường vuông góc nhằm tạo ra tam giác vuông.
Thí dụ 4: ( lớp 8) Tứ giác ABCD có O là giao điểm hai đường chéo .AB =6, OA= 8
OB =4 ,OD=6 . Tính độ dài AD
Phân tích: 
để tính độ dài AD cần tạo ra tam giác vuông có cạnh huyền AD một cạnh góc vuông chứa BC từ đó chỉ việc tìm hai cạnh góc vuông có cạnh huyền là AB là bài toán 
được giải quyết
Lời giải :
Kẻ AH OB đặt BH =x ; AH = y 
áp dụng định lý pi ta go vào các tam giác 
ABH và AOH ta có x2+y2= 36
Và (x+4)2+y2= 64 từ đó ta tìm được 
x= ; y2= do đó 
AD2= HD2+AH2= y2+(x+10)2=166 vậy AD =
4. Kẻ đường vuông góc nhằm tạo hai tam giác vuông bằng nhau
Thí dụ 5: ( lớp 9) Cho tam giác ABC vuông tại A đường phân giác BD biết BD = 7 ;
DC= 15
Tính độ dài AD.
Phân tích: 
Nếu kẻ DE BC . Ta có ABD =EBD
Ta có BD là đường trung trực của AE
đặt AD =x thì DE= x mặt khác Lấy K 
đối xứng với D qua H . Đặt DH=y
Tứ giác AKED là hình thoi ta có KE //DC
Dựa vào hệ thức lượng ta có thể biểu 
Diễn y theo x mặt khác KE //DC ta cũng biểu diễn được x theo y từ đó ta có thể rút ra được phương trình ẩn là x dẫn tới bài toán có thể được giải quyết.
Lời giải: 
kẻ DE BC . Ta có ABD =EBD
( Cạnh huyền – góc nhọn)
Nên DA= DE ; BA= BE suy ra 
BD là đường trung trực của AE
 Gọi H là giao điểm của AE và BD
Lấy K đối xứng với D qua H . 
Tứ giác AKED là hình thoi
đặt EK=KD=AD= x ; DH = HK = y tam giác EBD vuông nên ED2= DB. DH suy ra x2= 7y(1)
Do EK//AC nên = = (2)
Từ (1) và (2) suy ra 30x2 +49x -735=0 nghiệm dương của phương trình là x=4,2 vậy AD= 4,2
5. kẻ đường vuông góc nhằm tạo ra hai tam giác vuông đồng dạng
Thí dụ 6: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O) . Gọi D,E,F theo thứ tự là tiếp điểm trên các cạnh BC , AB , AC . Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ D đến EF . Chứng minh rằng 
 = 
Phân tích: 
kẻ BI ,CK vuông góc . với EF nhằm tạo ra hai 
BHI , CHK đồng dạng từ đó ta có = 
 Lời giải: 
kẻ BI ,CK vuông góc . với EF 
tam giác AEF cân tại A nên 
 = ta có BEI CFK (g.g)
Từ đó suy ra 
= == nên BHI CHK
Do đó = 
Các bài tập tương tự có thể giải theo hướng trên
* Một số bài tập đã hướng dẫn học sinh giải
Bài 1: ( lớp 7) cho tam giác ABC có = 1200 ,AB = 7,BC = 8 tính độ dài AC
Bài 2 : ( Lớp 7) cho tam giác ABC có = 450, = 1200 . Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD =2 CB . Tính số đo góc ADB
Bài 3: ( lớp 7) cho tam giác ABC (AC >AB) đường phân giác AD .Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho = . Chứng minh rằng BD = DE
Bài 4: ( lớp 8) cho tam giác ABC vuông cân tại A (AB< AC) đường cao AH . Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = AB . Gọi M là trung điểm của BE . Chứng minh rằng HM là tia phân giác của góc AHC
Bài 5: ( lớp 8) cho tam giác ABC vuông cân tại A . Các điểm D,E,F theo thứ tự nằm trên các cạnh AB,BC,CA sao cho = = chứng minh rằng AE vuông góc với DF
Bài 6: ( lớp 9) Hai đường tròn (O) và (O’) có cùng bán kính R , cắt nhau tại A và B , Trong đó =900 .Vẽ cát tuyến chung MAN . Tính tổng AM2+ AN2 theo R.
B. Phần II: kẻ thêm đường phụ để giải các bài toán hình học
. 2.1. Các yêu cầu khi vẽ các đường phụ.
 01- Vẽ đường phụ phải có mục đích:
 Đường kẻ phụ, phải giúp cho được việc chứng minh bài toán. Muốn vậy nó phải là kết quả của sự phân tích tổng hợp, tương tự hoá, mày mò dự đoán theo một mục đích xác định là gắn kết được mối quan hệ của kiến thức đã có với điều kiện đã cho của bài toán và kết luận phải tìm. Do đó không được vẽ đường phụ một cách tuỳ tiện (cho dù là mày mò, dự đoán) vì nếu đường phụ không giúp ích gì cho việc chứng minh thì nó sẽ làm cho mình vẽ rối ren, làm khó thêm cho việc tìm ra lời giải đúng. Vì vậy khi vẽ đường phụ phải luôn tự trả lời câu hỏi "Vẽ đường phụ này có đạt được mục đích mình muốn không?". Nếu "không" nên loại bỏ ngay.
 02- Đường phụ phải là những đường có trong phép dựng hình và phải xác định được.
 03. Lựa chọn cách dựng thích hợp đường phụ:
 Đường phụ thườngthỏa mãn các tính chất nào đó , việc lựa chọn đường phụ là rất quan trọng.Tuy cùng là một đường phụ vẽ thêm nhưng do các cách dựng khác nhau nên dẫn đến cách chứng minh cũng khác nhau.
 04.Một số loại đường phụ thường được sử dụng trong giải toán hình ở chương trình THCS.
a) Đường phụ là điểm: 
 Vẽ điểm chia trong hay chia ngoài một đoạn thẳng cho trước theo một tỷ số thích hợp
 Xác định giao điểm của các đường thẳng hoặc đường thẳng với đường tròn, thông thường dạng đường phụ này thường hay lấy trung điểm 
b) Đường phụ là đường thẳng, đoạn thẳng: 
 - Kéo dài một đường thẳng cho trước với độ dài tuỳ ý.
 -Nối hai điểm cho trước hoặc hai điểm đã xác định.
 -Từ một điểm cho trước dựng đường song song với một đường thẳng đã xác định.
 -Từ một điểm cho trước dựng đường vuông góc với một đường thẳng xác định.
 -Dựng đường phân giác của một góc cho trước.
 -Dựng đường thẳng đi qua một điểm cho trước hợp thành với đường thẳng khác một góc bằng góc cho trước.
 -Từ một điểm cho trước dựng tiếp tuyến với đường tròn cho trước.
 -Hai đường tròn giao nhau thì dựng được dây cung chung.
 Hai đường tròn tiếp xúc nhau thì ta có thể kẻ được tiếp tuyến chung hoặc đường nối tâm.
-Vẽ tia đối của một tia 
Dựng các đường đặc biệt trong tam giác (Trung tuyến , trung bình, phân giác ,đường cao)
c) Đường phụ là đường tròn:
Vẽ thêm các đường tròn hoặc cung chứa góc dựa trên các điểm đã có
Vẽ đường tròn tiếp xúc với một đường tròn hoặc đường thẳng đã có
Vẽ đường tròn nội hoặc ngoại tiếp đa giác
Trên cơ sở, các yêu cầu về vẽ (dựng) các đường phụ, giáo viên cần phân dạng được các bài toán hình mà lời giải có sử dụng đường phụ.
2.2 Các cơ sở để xác định đường phụ :
Ta có thể đưa dựa trên các cơ sở sau để xác định đường phụ sẽ vễ là đường gì ? và vẽ từ đâu ?
01- Kẻ thêm đường phụ tạo nên các hình rồi sử dụng định nghĩa hoặc tính chất các hình để giải quyết bài toán.
02- Kẻ thêm đường phụ để tạo nên các tình huống phù hợp với một định lý để giải quyết bài toán.
03- Kẻ thêm đường phụ để tạo ra khâu trung gian nhằm liên kết các mối quan hệ để giải quyết bài toán.
04- Kẻ thêm đường phụ để sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng.
05. Kẻ thêm các đường phụ để biến đổi kết luận tạo thành các mệnh đề tương đương để giải quyết bài toán.
2.3 Các biện pháp phân tích tìm ra cách vẽ đường phụ:
01. Dựa vào các bài toán đã biết: Dựa vào các bài toán quen thuộc, các định lý và tính chất đã học , học sinh nghiên cứu giả thiết và kết luận của bài toán, tìm ra các điểm tương đồng rồi từ đó vẽ đường phụ thích hợp để đưa bài toán cần giải quyết về bài toán quen thuộc 
A
C
M
D
B
E
Ví dụ1: Cho tam giác cân ABC đáy BC. Lấy trên AB kéo dài một đoạn BD = AB. Gọi CE là trung tuyến của tam giác ABC. CMR: CE = CD.
Ta chỉ phân tích phần nội dung: Kẻ đường phụ.
Phân tích: 
Từ kết luận của bài toán gợi ý cho ta xét đến trung điểm của CD. 
Muốn chứng tỏ một đoạn thẳng bằng nửa đoạn thẳng khác thì một trong các cách làm cơ bản là chia đôi đoan thẳng kia và chuyển về bài toán chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau . 
Gọi M là trung điểm của CD ta có CM = MD, vậy ta phải chứng minh CE=CM hoặc CE=DM. Chọn CE = CM. 
Từ sự phân tích tổng hợp ta nối B với M ta suy ra nếu chứng minh được D EBC = D MBC thì ta có được CE=CM là điều phải chứng minh. 
Đến đây điều cần chứng minh đã rõ ràng phải chứng minh D EBC = D MBC, hai tam giác này bằng nhau theo trường hợp c.g.c
Việc hướng dẫn học sinh kẻ đường phụ ta dựa vào sự phân tích trên, ta có thể đưa ra cho học sinh những câu hỏi gợi mở, chẳng hạn:
- Với M là trung điểm của CD, em nào cho biết CE và CM là các cạnh của tam giác nào?
- Vậy để chứng minh CE = CM ta phải kẻ thêm đường phụ nào và chứng minh điều gì?
- Hoặc với học sinh khá, giỏi ta có thể hỏi: Vậy để chứng minh CE = CM ta phải chứng minh điều gì?
02. Kẻ thêm đường phụ để tạo ra khâu trung gian nhằm liên kết các mối quan hệ để giải quyết bài toán:
Đối với trường hợp này (dạng này) thường là các bài toán chứng minh các đường thẳng đồng quy, hai đường thẳng vuông góc, đường trung tuyến của một tam giác, tam giác cân vì có đường cao đồng thời là đường trung tuyến...
Ví dụ2: Bài toán: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi M là trung điểm cạnh CD và N là một điểm trên đường chéo AC sao cho . Gọi F là điểm đối xứng của A qua N, chứng minh:FB ^ AC
Ta phân tích nội dung kẻ đường phụ và gợi ý chứng minh.
Phân tích: 
Ta thấy là một góc của DBFC, đối chiếu với định lý: "Tổng 3 góc của một tam giác bằng 180O thì có , nhưng ta chưa thể tính được bằng bao nhiêu độ nên không thể suy ra được số đo góc . Vậy không thể vận dụng định lý trên để chứng minh. 
- Nhưng bài toán cho ta các giả thiết liên quan đến góc vuông và trung điểm của đoạn thẳng , ta có thể liên kết các giả thiết đó lại với nhau để chứng minh bài toán này bằng cách nào? 
 Đó là câu hỏi lớn mà giáo viên nên đặt ra cho học sinh và hướng dẫn các em có thể tự đặt ra các câu hỏi như vậy .
 Liệu BF có là đường cao của D BNC được không?
Để chứng minh BF là đường cao của tam giác BNC ta phải chứng minh BF đi qua điểm nào đặc biệt trong tam giác? 
Dựa vào đó ta hiểu rằng phải chứng minh BF đi qua trực tâm của DBNC.
 Do sự phân tích - tổng hợp ta đi đến việc dựng NE ^ BC tại E. 
Gọi giao điểm của NE với BF là I. Ta suy ra rằng nếu chứng minh được CI // MN thì suy ra CI cũng sẽ vuông góc với BN (Vì MN^BN) tức CI là một đường cao của D BNC. 
Vậy I là trực tâm của D BNC (Vì I º NE ầ CK). Do đó suy ra điều phải chứng minh là:
BF ^ AC
 Tóm lại việc kể thêm NE^ BC tại E là nhằm tạo ra điểm I º NE ầ BF để chứng minh I là trực tâm của D BNC.
 Từ sự phân tích trên ta có thể dựa vào đó đề ra một hệ thống câu hỏi gợi mở cho học sinh tực giác, tích cực tìm lấy lời giải. Chẳng hạn có thể sử dụng những câu hỏi như:
- Để chứng minh BF vuông góc với AC ta có thể chứng minh BF là đường gì của D BNC?
- Để chứng minh BF đi qua trực tâm của DBCN thì ta phải có điểm nào?
- Ta phải kẻ thêm đường phụ nào để có một điểm là giao của BF với một đường cao của D BNC?
- Với NE là đường cao của D BNC và NE ầ BF tại I, ta phải chứng minh I là điểm có tính chất gì?
Ví dụ3: Cho ABC. M là 1 điểm bất kỳ trong . Nối M với các đỉnh A, B, C cắt các cạnh đối diện lần lượt tại A’, B’, C’ qua M kẻ đường thẳng song song với BC cắt A’B’; A’C’ tại K và H.
Chứng minh rằng: MK = MH
Đây là một bài toán tương đối khó với học sinh . 
? Sau khi đã tìm nhiều cách chứng minh không có kết quả . Ta chú ý đến giả thiết của bài toán chỉ cho tacác yếu tố đồng quy và song song. Giả thiết của định lý nào gần với nó nhất?
Câu trả lời mong đội ở đâylà định lý Talet
ở đây KH // BC. Đoạn thẳng BC được chia thành mấy đoạn nhỏ ?
Thiết lập quan hệ giữa MH, MK với các đoạn BA’ và CA’,BC
Cần phải xác định thêm các điểm nào?
Điểm P và Q là giao của KH với AB và AC
Ta có lời giải như sau
 Giả sử HK cắt AB, AC tại P, Q
Ta có: Theo định lý Talét
03. Dựa vào biến đổi đại số để xác định đường phụ 
Ví dụ 4: Cho ABC có Chứng minh rằng:
BC2 = AC2 + AC.AB
Hướng dẫn: - Các định lý hoặc tính chất nào giúp ta các công thức liên quan đến công thức cần chứng minh ?
Câu trả lời đầu tiên sẽ là định lý Pitago vì công thức của nó rất gần với công thức này , ở đây GV cần hướng dẫn học sinh loại bỏ ý định sử dụng định lý Pitago vì không tạo ra được các góc vuông có liên quan đến độ dài của cả ba cạnh ngay được 
-Ngoài định lý Pitago còn cách nào khác không?
Câu trả lời mong đợi ở đây là định lý ta lét và tam giác đồng dạng
-Hãy biến đổi đại số hệ thức cần chứng minh để đưa về dạng tỷ số để gắn vào tam giác đồng dạng
Đến đây GV có thể yêu cầu học sinh đưa về bài toán quen thuộc của việc chứng minh hệ thức ab= cd dựa vào tam giác đồng dạng bằng cách tạo ra một đoạn thẳng bằng AB+AC
-Từ đó học sinh đưa ra hai cách vẽ đường phụ là đặt liên tiếp cạnh AB một đoạn bằng AC hoặc đặt cạnh AC một đoạn bằng AB 
? Nên đặt dựa trên điểm nào ? Chọn đặt kề cạnh nào đẻ vận dụng được giả thiết ?
Câu trả lời mong đợi là lấy trên tia đối của tia AC một đoạn bằng AB
Từ đó ta có lời giải
Giải:
Trên tia đối của tia AC lấy D sao cho AD = AB 
Khi đó ABC cân tại A nên:
Xét ABC và BDC có:
 chung nên ABC đồng dạng với BDV (g.g)
Như vậy là việc dạy cho học sinh biết cách giải bài toán mà lời giải có kẻ thêm đường phụ không chỉ đơn thuần là đưa ra một số bài giải mẫu cho học sinh mà phải giúp học sinh nắm vững các yêu cầu khi vẽ đường phụ, sau đó phân dạng bài toán rồi mới đưa vào gợi mở để cho học sinh tìm được lời giải cho từng bài toán cụ thể. Trong quá trình đó dần dần hình thành cho học sinh kỹ năng vẽ đường phụ trong giải các bài toán hình học. 
2.4 Một số bài tập đã hướng dẫn học sinh giải 
Bài 1: Tính cạnh của hình thoi ABCD biết bán kính đường tròn ngại tiếp cac tam giác ABC và ABD lần lượt là 3 và 4
Bài 2 : Cho tam giác nhọn ABC cân tại A . Đường cao BH 
 Chứng minh rằng : 
Bài 3: Cho tam giác ABCcân tại A có 
Chứng minh rằng : 
Bài 4 : Cho tam giác ABC vuông tại A 
 Chứng minh rằng : với p là nửa chu vi của tam giác ABC
Bài 5 :Cho góc nhọn xOy . Trên hai cạnh Ox và Oy lần lượt lấy hai điểm M và N 
 sao cho OM +ON = 2a không đổi . 
a ) Chứng minh rằng : Khi M ,N chạy trên Ox , Oy thì trung điểm của MN luôn nằm trên một đoạn thẳng cố định 
b ) Xác định vị trí của M và N để tam giác OMN có diện tích lớn nhất 
Bài 6: Cho DABC nội tiếp đường tròn (O). gọi D;E;F thứ tự là trọng điểm của BC;AC và AB. Kẻ các đường thẳng DP' // OA; EE'//OB; EF//OC. Chứng minh các đường thẳng DD'; EE'; FE' đồng quy.
Bài 7: Cho đường tròn (O) và một điểm A bên trong đường tròn đó kẻ cát tuyến BAC bất kỳ.
 Gọi (P) là đường tròn đi qua A và tiếp xúc với (O) tại B
 (Q) là đường tròn đi qua A và tiếp xúc với (O) tại C
a) Tứ giác APOQ là hình gì ?
b) Gọi giao điểm thứ hai của (P) và (Q) là E; (E A)
 Tìm tập hợp điểm E khi cát tuyến BAC quay quanh A.
Bài 8: Cho góc vuông xOy. Các điểm P, Q thứ tự di chuyển trên tia Ox và Oy sao cho 
OP + OQ = 2007 . Vẽ đường tròn (P; OQ) và (Q; OP)
a) Chứng minh hai đường tròn (P) và (Q) ở trên luôn cắt nhau
b) Gọi M, N là giao điểm của hai đường tròn (P) và (Q) chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định khi P và Q thay đổi .
B. hiệu quả của đề tài :
Qua thời gian áp dụng các kiến thức và phương pháp dạy vừa trình bày ở trên (Từ 08/10/2009 đến nay) đối với 40 em học sinh đã thu được kết quả như sau:
Trong quá trình dạy học sinh theo phương pháp này , tôi đã thu được nhiều kết quả tốt . 
Bảng kết quả thi khảo sát sau cho thấy r