Hướng dẫn học sinh tìm hiểu khai thác một số bài toán về trực tâm tam giác

MỤC LỤC:
Phần I
Đặt vấn đề
Trang
Phần II
Nội dung
2
1.
Kiến thức cơ bản
2
2.
Tìm hiểu về trực tâm tam giác
3
3
Khai thác các bài toán về trực tâm tam giác:
7
4
 Mối liên hệ giữa trực tâm và các điểm đặc biệt trong tam giác 
25
5
Bài tập
29
Phần III
Kết luận
30
*
Kết quả của việc ứng dụng SKKN.
30
*
Những kết luận trong quá trình nghiên cứu, triển khai
SKKN.
30
Hướng dẫn học sinh tìm hiểu khai thác một số bài toán
về trực tâm tam giác
PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
 Qua nhiều năm dạy lớp 9 chúng tôi thấy trong hình học lớp 9 có một nội dung mà gặp rất nhiều trong sách giáo khoa, sách bài tập, các sách tham khảo và cũng gặp rất nhiều trong các đề thi vào lớp 10, thi học sinh giỏi; đó chính là các bài toán có liên quan đến trực tâm của tam giác. Nhưng học sinh mới chỉ biết được tính chất ba đường phân giác, ba đường trung trực, ba đường trung tuyến của tam giác còn ba đường cao học sinh cũng chỉ biết là chúng đồng quy tại một điểm chứ chưa biết thêm gì về tính chất giao điểm ba đường cao (trực tâm tam giác). Vậy trực tâm tam giác có gì đặc biệt không? Từ những tính chất đó có thể khai thác những bài toán liên quan đến trực tâm như thế nào? Đề tài này chúng tôi viết nhằm mục đích: Hướng dẫn cho học sinh tìm hiểu và khai thác một số bài toán về trực tâm tam giác; từ đó học sinh có thể nắm vững, hệ thống được các bài toán liên quan đến vấn đề này và cũng có thể sáng tạo tự khai thác thêm những bài khác, tạo cho học sinh tính say mê tìm tòi và hứng thú trong học tập. 
 PHẦN II : NỘI DUNG
1/ Kiến thức cơ bản:
+ Trong một tam giác ba đường cao đồng quy tại một điểm, điểm đó gọi là trực tâm của tam giác.
+ Trực tâm tam giác có 3 trường hợp xẩy ra
 TH1: Tam giác vuông: TH2: Tam giác nhọn: TH3: Tam giác tù: 
 Nhận xét:
 - Trực tâm tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông của tam giác
 - Trực tâm tam giác nhọn nằm trong tam giác.
 - Trực tâm tam giác tù nằm ngoài tam giác.
 Trong bài viết này chỉ hướng dẫn HS xét trực tâm tam giác trong trường hợp tam giác nhọn, các trường hợp còn lại HS tự tìm hiểu thêm.
2/ Tìm hiểu về trực tâm tam giác:
 Bài1: 
 Cho tam giác nhọn ABC; 3 đường cao của tam giác lần lượt là: AD; BE; CF. Gọi H là trực tâm tam giác đó.
a) Hãy tìm các tứ giác nội tiếp có trên hình? 
b) Chứng minh: H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF
 c) Gọi H1, H2, H3 lần lượt là các giao điểm của các tia AH, BH, CH với đường tròn 
 ngoại tiếp tam giác ABC. Chứngminh: H1, H2, H3 lần lượt đối xứng với H qua BC, 
 AC, AB.
Hướng dẫn:
a) - HS dễ dàng tìm được các tứ giác nội tiếp
 là: BFHD; AEHF; CDHE.
- Nếu nối các đoạn thẳng: EF; FD; DE; 
HS sẽ tìm thêm được các tứ giác nội tiếp:
BFEC; BDEA; AFDC.
Lưu ý: Các tứ giác nội tiếp có trên hình vẽ đó chính là cơ sở để khai thác đặc điểm trực tâm của tam giác 
 b) Phân tích: Sử dụng các tứ giác nội tiếp ở câu a :
- Để chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF ta phải chứng minh điều gì? (Chứng minh: H là giao điểm của 3 đường phân giác trong của DEF ) 
- Gợi ý: - Chỉ cần chứng minh DH là phân giác của , việc chứng minh EH; FH là các phân giác của DEF hoàn toàn tương tự.
- Dựa vào các tứ giác nội tiếp tìm được ở bài toán hãy chứng minh: ?
- Ta có thể chứng minh vì cùng bằng một góc thứ 3: hoặc sử dụng các tứ giác nội tiếp ở bài toán 1. Chẳng hạn: 
Chứng minh: 
Ta có ABDE, AFDE là các tứ giác nội tiếp theo câu a 
và 
mà (vì cùng phụ với ) 
. Hay DH là phân giác của 
Chứng minh tương tự ta có EH; FH là các phân giác của và 
 H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF
c) Phân tích:
 - Để chứng minh H1, H2, H3 lần lượt đối xứng với H qua BC, 
 AC, AB. ta cần chứng minh điều gì?
 (chứng minh BC, AC, AB lần lượt là các trung trực
 của HH1, HH2, HH3) 
 - Chẳng hạn chứng minh BC là trung trực của HH1:
ta sẽ chứng minh CD vừa là đường cao vừa là 
phân giác của CHH1 như sau:
Chứng minh:
 Ta có: (vì tứ giác CDFA là tứ giác nội tiếp)
 (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BH1)
 hay CD là phân giác của 
 Trong CHH1: CD vừa là phân giác vừa là đường caoCHH1 cân 
 CD là trung trực của HH1
Vậy H và H1 đối xứng nhau qua CD hay BC. Chứng minh H2, H3 đối xứng với H qua AC, AB tương tự.
Kết luận1: 
 Như vậy qua bài toán này học sinh thấy được tính chất đặc biệt của trực tâm H: 
vừa là trực tâm tam giác ABC vừa là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF
* Khai thác câu b bài toán 1 ta có bài toán sau
Bài 2:
 Dựng tam giác ABC biết E, F, D là chân 3 đường cao của tam giác đó 
Hướng dẫn: 
Phân tích: - Giả sử đã dựng được tam giác ABC có H là trực tâm, theo câu b bài toán 1 ta suy ra điều gì?
(H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF ).
- Từ đó để dựng tam giác ABC ta sẽ dựng như thế nào?
(dựng điểm H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF trước) 
 Cách dựng:
 - Dựng DEF
 - Dựng điểm H là tâm đường tròn nội tiếp DEF
 - Dựng các đường thẳng vuông góc với HE , HF, HD theo thứ tự tại các điểm 
 E, F, D các đường thẳng này cắt nhau tạo thành tam giác ABC. 
* Khai thác câu c bài toán 1 ta có bài toán đảo: 
Bài 3: 
 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O); H là trực tâm của tam giác. Gọi H1, H2, H3 lần lượt là các điểm đối xứng với H qua BC, AC, AB. 
Chứng ninh: H1, H2, H3 thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
 Hướng dẫn :
 Cách 1: 
 Phân tích: Vì bài toán này là bài đảo của câu c bài 1 nên ta có thể sử dụng cách 
 chứng minh ngược lại với chứng minh đó.
 Chứng minh:
Do H và H1 đối xứng với nhau qua BC 
 nên tam giác CHH1 cân ; 
mà vì cùng phụ với 
 tứ giác ABH1C nội tiếp. 
Hay H1 thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
 Cách 2: 
 Phân tích: - Nếu chứng minh được H1 thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác 
 ABC thì khi đó các tứ giác ABH1C có đặc điểm gì? (là tứ giác nội tiếp)
Vì vậy muốn chứng minh H1 thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì chỉ 
cần chứng minh tứ giác ABH1C là tứ giác nội tiếp. Có thể chứng minh tứ giác ABH1C là tứ giác nội tiếp bằng nhiều cách. Chẳng hạn:
 Chứng minh:
 Do tứ giác AFHE là tứ giác nội tiếp nên = 1800 (1)
 Mà (đối đỉnh); 
 (do H và H1 đối xứng nhau qua BC ) 
 (2)
Từ (1) và (2) = 1800 tứ giác ABH1C nội tiếp. 
Hay H1 thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Chứng minh tương tự thì H2, H3 cũng thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Kết luận 2: Cho H là trực tâm của tam giác ABC;
- Nếu H1, H2, H3 lần lượt là các giao điểm của các tia AH, BH, CH với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. thì H1, H2, H3 lần lượt đối xứng với H qua BC, AC, AB.
 - Ngược lại nếu H1, H2, H3 lần lượt là các điểm đối xứng với H qua BC, AC, AB thì H1, H2, H3 thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
* Cũng tìm hiểu trực tâm tam giác ta có :
Bài 4: 
 Cho tam giác nhọn ABC. Tìm điểm M thuộc miền trong của tam giác sao cho:
 MA.BC + MB.AC + MC.AB đạt giá trị bé nhất.
Hướng dẫn:
Phân tích: Các tích MA.BC, MB.AC, MC.AB
 tương tự nhau nên có thể xét mỗi tích. 
Ta sẽ tạo các đường vuông góc BE và CF 
kẻ từ B và C đến tia AM vì BCBE + CF 
để tìm xem tích MA.BC nhỏ nhất bằng bao
nhiêu và đạt được khi nào?
Chẳng hạn ta có thể làm như sau:
Chứng minh:
 Vẽ BE tia AM; CF tia AM (E, F tia AM) ;
 tia AM cắt BC tại D
 Ta có: MA.BC = MA.(BD+DC) 
 = MA.BD + MA.DC 
 MA.BE + MA.CF
 MA.BC 2SABM + 2SACM
Tương tự ta có: MB.AC 2SMBC + 2SMBA
 MC.AB 2SMCA + 2SMCB
MA.BC + MB.AC + MC.AB 4(SABM+ SACM+ SMCB) = 4SABC (không đổi)
Dấu bằng xẩy ra khi MA BC; MB AC; MC AB.
 M là trực tâm tam giác ABC.
Kết luận3: Từ bài toán trên ta có một tính chất để M thuộc miền trong của tam giác sao cho: MA.BC + MB.AC + MC.AB đạt giá trị bé nhất thì M phải là trực tâm tam giác ABC.
2/ Khai thác các bài toán về trực tâm tam giác:
Bài 5:
 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R và AD, BE, CF lần lượt là các đường cao của tam giác ABC. Gọi M, N, Q lần lượt là giao điểm của AD, BE, CF với (O; R). Chứng minh rằng 
Hướng dẫn:
Từ kết quả câu c bài toán 1 ta có 
HD = DM, HE = EN, FH= FQ
Suy ra 
 Tương tự , 
Nên suy ra 4 (SABC là diện tích )
* Khai thác trực tâm H khi tam giác ABC đặc biệt 
Bài 6:
 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) có AC =R, AB =R. Kẻ các đường cao AE, BK, CI cắt nhau tại H .Tính số đo các góc, số đo các cạnh của tam giác KIE theo R.
Hướng dẫn: 
Phân tích: 
Khi tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) có AC =R, AB =R hãy xem tam giác đó có gì đặc biệt ?
Chứng minh:
+ AC= R =600 =300 
 AB =R = 450 450
Theo bài toán 2 ta có : = 2 = 600
 = 2= 900 
 Nên = 300
Vậy có : 
 = 600; = 900; = 300
+ (vì vuông cân)
S
 (gg) 
 Nên , .
Kết luận: Ta có thể áp dụng tính chất của trực tâm tam giác đã làm trong các bài toán 1, 2 để tìm mối liên hệ độ dài các đoạn thẳng, các góc trong tam giác. 
* Khai thác tổng hợp ta có:
Bài 7:
 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O); 3 đường cao của tam giác lần 
 lượt là AD; BE; CF. Gọi H là trực tâm tam giác đó. H1, H2, H3 lần lượt là các giao 
 điểm của các tia AH, BH, CH với đường tròn tâm O.
 a) Chứng minh các đường tròn ngoại tiếp các tam giác AHB, BHC, CHA có bán 
 kính bằng nhau.
 b) Chứng minh ED // H1H2; EF // H2H3; FD // H1H3
 c) Chứng minh OA EF; OB FD; OC ED
 d) Cho B, C cố định (O); A chuyển động trên cung lớn BC
 - Tìm quỹ tích điểm H?
 - Xác định vị trí điểm H để diện tích tam giác BHC đạt giá trị lớn nhất
 - Tìm vị trí điểm A để chu DEF lớn nhất.
 Hướng dẫn:
 a) Phân tích: - Theo câu c bài toán 1 ta có H1, H2, H3, lần lượt đối xứng với H qua
 BC, AC, AB nên các tam giác AHB, BHC, CHA sẽ lần lượt bằng các tam giác nào?
 - Các tam giác AH3B, BH1C, CH2A có đặc điểm gì? 
 (đều là các tam giác nội tiếp đường tròn tâm O)
- Từ đó ta có thể chứng minh các đường tròn ngoại tiếp các tam giác AHB, BHC, 
CHA có bán kính bằng nhau như thế nào?
 Chứng minh:
Bán kính đường tròn ngoại tiếp BHC 
 bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp BH1C
(BHC = BH1C vì H và H1 đối xứng qua BC
theo bài toán 3).
Mà BH1C nội tiếp đường tròn tâm O
 Bán kính đường tròn ngoại tiếp BHC 
bằng bán kính đường tròn tâm O
 Chứng minh tương tự các bán kính đường tròn ngoại tiếp AHC, AHB, 
BHC đều bằng nhau và bằng bán kính đường tròn tâm O
b) Cách 1: Do H1, H2 lần lượt đối xứng với H qua BC, AC (theo bài toán 3)
 DE là đường trung bình của HH1H2 DE // H1H2
Cách 2: Ta có (do tứ giác AEDB nội tiếp) 
 (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BH1 )
 ED || H1H2 (Vì hai góc đồng vị bằng nhau)
Chứng minh tương tự EF || H2H3; FD || H3H4
c) Ta có: (chứng minh ở bài toán 3) BH3= BH1
Mặt khác OH3= OH1 (bán kính đường tròn tâm O)
OB là trung trực của H1H3 OB H1H3
Mà H1H3 || FD BO FD
Chứng minh tương tự AO EF; CO ED.
Lưu ý: ở câu c ta đã sử dụng kết quả của câu b để chứng minh. Ta cũng có thể chứng minh theo cách khác như sau:
Cách 2: Kẻ tiếp tuyến tại A của đường tròn(O)
Ta có ( cùng bằng)
 Ax // EF; mà Ax AO EF AO 
Cách 3: Kẻ đường kính AK của đường tròn(O)
Ta có: (cùng bằng)
Mà = 900 =900
 AK EF. Hay AO EF
d) Hướng dẫn :
*Tìm quỹ tích điểm H:
- Khi A chuyển động trên cung lớn BC thì 
H1 sẽ chuyển động trên đường nào?
(H1 chuyển động trên cung nhỏ BC)
- Ở bài toán 1: H đối xứng với H1 qua BC, vậy H sẽ chuyển động trên đường nào?
(H chuyển động trên cung đối xứng với cung nhỏ BC qua BC: 
cung chứa góc 1800- Â dựng trên đoạn thẳng BC, cùng phía với A so với BC)
* Xác định vị trí điểm H để diện tích tam giác BHC đạt giá trị lớn nhất:
Do H chuyển động trên cung chứa góc 1800- Â dựng trên BC nên lớn nhất
 H là điểm chính giữa cung chứa góc 1800- Â dựng trên BC
 A là trung điểm cung lớn BC của đường tròn (O)
* Tìm vị trí của điểm A trên cung lớn BC để chu vi tam giác DEF lớn nhất 
Do AO EF, CO ED, BO FD 
nên SAEOF = AO.EF ; SBEOD = BO.FD ; SCDOE = CO.DE
Vì trường hợp này O ở trong tam giác ABC nên
SAEOF + SBEOD + SCDOE = SABC
SABC =( AO.EF + BO.FD + CO.DE )
 =AO(EF + FD + DE) (vì AO = BO = CO)
Gọi R là bán kính đường tròn tâm O; P là chu vi tam giác DEF
SABC =R.P P = 
Vậy P lớn nhất SABC lớn nhất (vì R không đổi)
Mà SABC =BC.AD. Vì BC không đổi nên SABC lớn nhất AD lớn nhất 
A là điểm chính giữa của cung lớn BC.
* Từ bài 7 ta có bài toán sau:
Bài 8: 
 Cho tam giác nhọn ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O. Ba đường cao AK; BE; CD cắt nhau ở H.
a) Chứng minh : Tứ giác BDEC nội tiếp.
b) Chứng minh : AD.AB = AE. AC
c) Chứng tỏ KA là phân giác của góc DKE
d) Gọi I; J lần lượt là các trung điểm của BC và DE. Chứng minh: OA // IJ
Hướng dẫn:
a) Tứ giác BDEC nội tiếp ( bài 1).
S
b) Từ giác BDEC nội tiếp ADE ACB (g.g) đpcm
c) KA là phân giác của góc DKE (bài 1)
d) Do tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn 
 tâm I, đường kính BC; J là trung điểm của 
dây cung DE IJ DE
Mà AO DE (bài 1)
 IJ // AO
* Khai thác đặc điểm của điểm H ta có :
Bài 9: 
 Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm (O; R); 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H, đường kính qua A cắt đường tròn (O) tại M.
a) Chứng minh HM đi qua trung điểm I của BC.
b) Chứng minh AH = 2OI.
c) Cho BC = R. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF
Hướng dẫn:
a) Chứng minh BHCM là hình bình hành
( Hai cặp cạnh đối song song:
 BH, MC cùng AC; CH, MB cùng AB) 
I là trung điểm của BC đồng thời cũng là trung
 điểm của HM.
 Hay HM đi qua trung điểm I của BC.
b)Cách 1: 
Từ câu a) OI là đường trung bình 
của AMH AH = 2OI
S
Cách 2: 
Gọi N là trung điểm của AC . ION AHB (gg)
 Suy ra 
Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF là đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF 
Mà tứ giác AEHF là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AH ta cần tính AH.
Theo câu b) ta có AH = 2OI ta cần tính OI.
Xét tam giác vuông BOI ta sẽ tính được OI theo định lý Pitago
(với BO = R; BI =BC = R)
Lưu ý: ở câu c) có thể thay bằng câu sau: Chứng minh rằng khi A chuyển động trên cung lớn BC (B, C cố định) thì bán kính đường tròn ngoại tiếp AEF không đổi.
* Khai thác từ bài 9 ta có:
Bài 10: 
 Cho tam giác có các góc nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O. H là trực tâm của tam giác. D là một điểm trên cung BC không chứa điểm A.
a) Xác định vị trí của điẻm D để tứ giác BHCD là hình bình hành.
b) Gọi P và Q lần lượt là các điểm đối xứng của điểm D qua các đường thẳng AB và AC. Chứng minh rằng 3 điểm P; H; Q thẳng hàng.
c) Tìm vị trí của điểm D để PQ có độ dài lớn nhất.
Hướng dẫn: 
a) Câu a này là ngược lại của của việc chứng minh hình bình hành ở bài toán 3.
Ta sẽ chứng minh khi đó AD chính là đường kính của đường tròn.
Giả sử đã tìm được điểm D trên cung BC 
sao cho tứ giác BHCD là hình bình hành. 
Khi đó: BD//HC; CD//HB 
vì H là trực tâm tam giác ABC nên 
CH AB và BH AC
=> BDAB và CDAC.
 Do đó: và 
 AD là đường kính của đường tròn tâm O 
 Ngược lại nếu D là đầu đường kính AD của
 đường tròn tâm O thì tứ giác BHCD là hình bình hành.(theo c/m bài 4)
b) Vì P đối xứng với D qua AB nên mà 
Mặt khác: 
Tứ giác APBH nội tiếp được đường tròn nên PAB =PHB
Mà do đó: 
Chứng minh tương tự ta có: 
Vậy 
 ba điểm P; H; Q thẳng hàng 
c) Ta thấy APQ là tam giác cân đỉnh A có AP = AQ = AD và không đổi nên cạnh đáy PQ đạt giá trị lớn nhất AP và AQ là lớn nhất
 AD là lớn nhất D là đầu đường kính kẻ từ A của đường tròn tâm O 
Bài 11:
 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, H là trực tâm; M, N lần lượt là hình chiếu
của H lên phân giác trong và phân giác ngoài của góc A. Chứng minh rằng: 
MN đi qua trung điểm S của AH.
M, I, N thẳng hàng (I là trung điểm của BC). 
Hướng dẫn:
a) ANHM là hình chữ nhật suy ra MN đi qua trung điểm S của AH
b) Vẽ đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC; tia OI cắt cắt đường tròn (O) tại J. OJ vuông góc với BC.
Ta có: ( cân). 
 (So le trong) 
Suy ra 
Ta có AS IO là hình bình hành 	
vì có OI = AS = 
(chứng minh ở câu b bài 6)
Suy ra AO // S I (1)
Mặt khác (cùng ) 
suy ra S M // AO. (2)
Từ (1), (2) suy ra M, S, I thẳng hàng; mà N, S, M thẳng hàng
 M, I, N thẳng hàng
* Cũng khai thác từ câu b bài 11 ta có :
Bài 12: 
 Cho tam giác ABC với trực tâm H (H A, B, C) và M là trung điểm của BC. Đường thẳng đi qua H vuông góc với HM cắt đường thẳng AB ở E và cắt đường thẳng AC ở F. Chứng minh tam giác MEF cân.
Hướng dẫn: 
Kẻ đường kính AD của đường tròn ngoại tiếp 
tam giác ABC 
- Chứng minh BHCD là hình bình hành
H, M, D thẳng hàng
- Chứng minh EDF cân 
( 
mà : do HBDC là hình bình hành 
DH là đường cao vừa là trung trực củaMEF, mà M thuộc HD nên ME = MF. Hay MEF là tam giác cân. (Đpcm) 
* Từ bài toán 12 ta có:
Bài 13:
 Gọi H là trực tâm tam giác ABC. Một đường thẳng qua trực tâm H cắt AB, AC tại P và Q sao cho HP= HQ. Chứng minh đường thẳng vuông góc với PQ kẻ từ H luôn luôn đi qua trung điểm của BC.
Hướng dẫn:
Cách 1:Dựa vào bài 12 để chứng minh 
Cách 2: Lấy IBC (BI = IC ) 
Kẻ PQHI tại H. Ta chứng minh HP = HQ.
Trên tia BH lấy C’sao cho H là trung điểm của BC’
HI là đường trung bình của BCC’
 HI || CC’. Mà HI PQ
CC’PQ hay HQ CC’ (1). 
Mà C’H CD (2) ( do BH AC )
Từ (1) và (2) Q là trực tâm CC’H C’QCH 
Mà CH AB C’Q || AB HC’Q =HBP (g-c-g) HP=HQ
Bài 14:
 Cho tam giác nhọn ABC. Đường tròn đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại E và F; CE và BF cắt nhau tại H. Gọi I là trung điểm của AH; AH kéo dài cắt BC ở D. Chứng minh:
a) Tứ giác AEHF là tứ giác nội tiếp.
b) H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF
c) EI và FI là các tiếp tuyến của đường tròn 
Hướng dẫn: 
a)- E, F thuộc đường tròn đường kính BC ta suy ra điều gì? ()
-Từ đó chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp như thế nào? 
(tổng hai góc đối diện bằng 1800)
b)- Hãy xét vai trò của CE và BF trong tam giác ABC?
(CE và BF là các đường cao trong tam giác ABC,
mà CE cắt BF tại H nên suy ra H là trực tâm của 
tam giác ABC H là tâm đường tròn nội tiếp
 tam giác DEF (bài toán 2)
c)- Hướng dẫn: Để chứng minh EI là tiếp tuyến của 
đường tròn ta chứng minh 
bằng cách chứng minh .
Hoặc chứng minh: 
Cách 1: 
Do I là trung điểm của AH nên EI là trung tuyến thuộc cạnh huyền của tam giác vuông AEHEI = IH; 
mà (vì đối đỉnh) (1) 
 Ta lại có: (2) vì tam giác EOC cân 
(do OE và OC là các bán kính của đường tròn (O) 
Mà (3) vì CHD vuông tại D (do AH BC tại D)
Từ (1) (2) (3) . Hay IE EO.
 Hay EI là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại E.
Cách 2: 
Ta có: (vì BOE, cân do BO = EO) 
 (vì AIE cân)
Mà (vì ABD vuông, do AH BC )
 . 
Hay EI là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại E.
Chứng minh tương tự ta cũng có FI là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại F.
(Lưu ý: ở bài này có thể ra cho học sinh khá:
- Cho H là trực tâm của tam giác ABC; đường tròn đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tạ E và F. Chứng minh: B, H, Fthẳng hàng; C, H, E thẳng hàng.
- Gọi I là trung điểm của AH. Chứng minh I thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác EOF; chứng minh 5 điểm I, E, D, O, F cùng thuộc một đường tròn. 
 - Hoặc gọi I là giao điểm của hai tiếp tuyến của đường tròn tại E và F. Chứng
minh I, H, A thẳng hàng). 
Phần chứng minh dựa vào chứng minh ở bài toán trên.
* Phát triển từ bài toán 14 ta có một số bài toán: 
Bài 15:	
 Cho hai đường tròn (O; R) và đường tròn (O’; R’) cắt nhau tại Avà B. Đường kính AP của đường tròn (O) cắt đường tròn (O’) tại E. Đường kính AQ của (O’) cắt đường tròn (O) tại F. Gọi M là giao điểm của PF và QE. Chứng minh rằng.
M, A, B thẳng hàng.
Các tiếp tuyến tại E và F của đường tròn ngoại tiếp tứ giá FEQP cắt nhau tại một điểm trên MB.
 Hướng dẫn: 
a)Ta có A là trực tâm của MPQ 
 MA PQ (1).
Mà AB OO’ ; OO’ // PQ.
Nên AB PQ. (2)
Từ (1), (2) suy ra M, A, B thẳng hàng.
b) Kẻ tiếp tuyến FI của đường tròn ngoại tiếp 
tứ giác PFEQ cắt MA tại I.
Ta chứng minh IE là tiếp tuyến của đường 
tròn ngoại tiếp tứ giác FEQP
Hoặc lấy I là trung điểm của MA ta chứng minh
IF và IE là các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tứ giác FEQP
( câu c bài 14)
 Vậy các tiếp tuyến tại E và F của đường tròn ngoại tiếp tứ giác FEQP cắt nhau tại một điểm trên MB. 
Bài 16:
 Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao BF, CE cắt nhau tại H; I là trung điểm của AH và K là giao điểm của EF với AH. Gọi D là điểm đối xứng với H qua BC. Chứng minh:
a) Tứ giác BIFD là tứ giác nội tiếp.
b) K là trực tâm tam giác BIC.
Hướng dẫn: 
a)Tam giác AFH vuông, I là trung điểm của AH 
 Mà (đối đỉnh) và 
(do D là điểm đối xứng của H qua BC)
. Hay 
 tứ giác BIFD là tứ giá