Những ý nghĩ từ bài toán Phânt ích A3 + B3 + C3 - 3ABC thành nhân tử

Những ý nghĩ từ bài toán 
''phân tích a3 +b3+c3 - 3abc thành nhân tử ''
A- Đặt vấn đề.
	Khi học môn Toán mỗi học sinh đều gặp phải những khó khăn riêng của mình. Điều này rất dễ hiểu, vì khi học Toán đa số học sinh chỉ muốn dừng lại ở chỗ '' Tìm ra được lời giải và có đáp số đúng''. Nếu vậy thì cho dù có giải được hàng trăm bài toán kiến thức mà học sinh thu lượm được cũng chẳng là bao so với giải ít bài tập hơn mà luôn suy nghĩ để tìm ra cách giải khác, luôn luôn tìm cách khai thác bài toán để đưa ra bài toán tương tự. Sự đam mê và luôn tìm cách khai thác bài toán, là con đường tốt nhất để đi lên trong học Toán.
	Bài viết này tôi trình bày nhằm giúp học sinh có một định hướng đúng đắn trong quá trình học Toán.
B - Nội dung.
	I - Phân tích:
A = a3 + b3 +c3 -3abc thành nhân tử.
	Lời giải: 
	Từ 	(a+b)3= a3 + 3a2b +3ab2 + b3
	= a3 + b3 + 3ab (a+b)
	Ta suy ra: a3 + b3 = (a+b)3 - 3ab (a+b)	(1)
	áp dụng hằng đẳng thức (1) vào giải bài toán ta có: 
	A = (a3 + b3) + c3 - 3abc 
	 = (a+b)3 - 3ab (a+b) + c3 - 3abc
	 = (a+b)3 + c3 - 3ab (a+b) - 3abc
	 = 
	 = (a+b+c) (a2 +2ab + b2 -ac - bc + c2 - 3ab) 
	 = (a+b+c) (a2+ b2 +c2 -ab - bc - ac)	(*)
	II - Lời bình.
	1. Nếu ta đặt câu hỏi :	a3 + b3 = (a+b)3 - 3ab (a+b) thì a3+ b3 + c3 sẽ bằng bao nhiêu? Khi đó giúp ta nghĩ đến chứng minh hằng đẳng thức:
	a3 + b3 +c3 = (a+b+c) (a2 + b2 + c2 - ab - ac + 2bc) - 3bc (b+c) 	(2).
	Việc chứng minh hằng đẳng thức (2) là một việc không khó đối với bạn đọc nên tôi không chứng minh.
áp dụng hằng đẳng thức (2) vào giải bài toán ta có: 
	A = a3 + b3 +c3 - 3abc
	 = (a+b+c) (a2 + b2 + c2 - ab - ac +2bc) - 3bc (b+c) - 3abc 
 = (a+b+c) (a2 + b2 + c2 - ab - ac +2bc) - 3bc (a+b+c)
 = (a+b+c) (a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac).
2. Do A là một đa thức có bậc là lẻ đối với tất cả các biến nên dấu của a cũng là dấu của a3, dấu của b cũng là dấu của b3 và dấu của c cũng là dấu của c3. Do đó việc giải bài toán :
Bài toán:
Phân tích các đa thức sau thành phân tử:
a. a3 - b3 + c3 + 3abc
b.a3 - b3 - c3 - 3abc
c. - a3 - b3 - c3 + 3abc 
Là một vấn đề đơn giản đối với bạn đọc bởi -b3 ta có thể viết thành (-b)3, -c3 ta có thể viết thành (-c)3 và -a3 ta cũng có thể viết thành (-a)3. Do đó bài toán trên được viết lại như sau:
a. a3 - b3 + c3 + 3abc = a3 + (-b)3 + c3 - 3a (-b)c.
b. a3 - b3 - c3 - 3abc = a3 + (-b)3 + (-c)3 - 3a (-b) (-c)
c. - a3 - b3 - c3 + 3abc = - (a3 + b3 + c3 - 3abc)
Mong bạn đọc tự giải.
III - Khai thác bài toán.
Nhận xét 1: 
Nếu ta cho A = a3 + b3 + c3 - 3abc = 0 thì ta sẽ có:
	a+b+c = 0
	a2 + b2 + c2 - ab -bc - ac = 0
=> a+b+c = 0 
	a = b = c
Từ nhận xét 1 cho phép ta nghĩ đến hai bài toán sau:
Bài toán 1: 
Chứng minh rằng: 	a3 + b3 + c3= 3abc thì a+b+c = 0 hoặc a = b = c 
Bài toán 2: Cho a+b+c = 0 . Hãy chứng minh rằng a3 + b3 + c3 - 3abc = 0
Nhận xét 2: 
Lời bình 2 cho phép ta nghĩ đến một số bài toán sau:
Bài toán 3: Chứng minh rằng :	a3 - b3 + c3 + 3abc M a-b+c.
Cách giải: 
áp dụng hằng đẳng thức (*) vào giải bài toán ta có:
a3 - b3 + c3 + 3abc = a3 + (-b)3 + c3 - 3a (-b)c
	 = (a+(-b) + c) 	 	 = (a-b+c) (a2 + b2 +c2 +ab - ac + bc) M (a-b+c) (đ.p.c.m)
 Bài toán 4: Cho là số tự nhiên có ba chữ số thoả mãn M 11. Hãy chứng minh rằng: a3 - b3 + c3 + 3abc M 11. 
Cách giải: 
	 M 11 => a - b +c M 11 	(3)
Theo bài toán 3: a3 - b3 + c3 + 3abc = (a-b+c) (a2+b2+c2 + ab - ac + bc) 	 (4)
Từ (3) và (4) ta suy ra đ.p.c.m.
Bài toán 5: Cho M 7. Hãy chứng minh rằng:	
 B = 8a3 - 64b3 +c3 + 24abcM7
Cách giải: 
	 M 7 => 2a - 4b + c M 7 	(5)
	Mặt khác: 	B = 8a3 - 64b3 + c3 + 24abc 
	 	 = (2a)3 - (4b)3 + c3 - 3 (2a) (-4b) c; theo bài toán 3 ta có:
B = (2a - 4b +c) (4a2 + 16b2+ c2 + 8ab - 2ac + 4bc)	(6).
Từ (5) và (6) ta suy ra (đ.p.c.m)
Nhận xét 3: 
Từ A = a3 + b3 +c3 - 3abc 
	 = (a+b+c) (a2 + b2 + c2 -ab - bc - ac); Ta có và nhận xét như sau :
+ A M (a+b+c) 
+ A M (a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac).
+ Các phân số và sẽ là các số 
nguyên với mọi: a, b, c ẻ Z.
+ Nếu; a,b,c,k là các số nguyên thoả mãn (a+b+c) M k thì A M k
Từ nhận xét 3 cho phép ta nghĩ đến một số bài toán sau:
Bài toán 6: 
Chứng minh rằng đa thức A = a3 + b3 +c3 - 3abc chia hết cho đa thức a+b+c và tìm thương của phép chia.
Bài toán này không khó mong bạn đọc tự giải.
Bài toán 7:
	Cho a,b,c,k ẻ N* và UCLN (abc, a+b+c) = 1. Hãy chứng minh rằng nếu (a3+b3+c3+kabc) M (a+b+c) thì (k+3) M (a+b+c).
	Cách giải: 
	(a3+b3+c3+kabc) M (a+b+c) 
	=> (a3+b3+c3 - 3abc +kabc+3abc) M (a+b+c)
	=> (a+b+c) (a2+b2+c2 - ab - bc - ac) +abc (k+3) M a+b+c
	=> (abc) (k+3) M (a+b+c) 	(7)
	Mặt khác : UCLN (abc, a+b+c) = 1 	(8).
	Từ (7) và (8) suy ra (đ.p.c.m)
	Bài toán 8:
Chứng minh rằng đa thức : A = a3 + b3 +c3 - 3abc chia hết cho đa thức .
	B = a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac và tìm thương của phép chia A cho B
Cách giải: 
+ Ta có:	 A = a3 + b3 + c3 - 3abc 
	 	 = (a+b+c) (a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac) 
	 = (a+b+c) B M B (đ.p.c.m)
	+ Thương của phép chia A cho B là a+b+c
	Bài toán 9: Chứng minh rằng nếu a,b,c là ba số nguyên khác 0 và đôi một khác nhau thì các phân số B= và 
C = là các số nguyên.
	Bài toán này không khó mong bạn đọc tự giải.
Bài toán 10: Cho a,b,c là ba số nguyên liên tiếp. Hãy chứng minh rằng giá trị của biểu thức B= không phụ thuộc vào giá trị của a,b,c.
Cách giải:
Ta có B = 
 = a2 +b2 +c2 - ab - bc -ac
 = 
Do a,b,c là ba số nguyên liên tiếp nên không mất tính tổng quát của bài toán ta giả sử a>b>c:
Ta có: a = c+2 và b = c+1.Thay a = c+2 và b = c+1 vào biểu thức B trên ta có. 
 B = 
 =. Không phụ thuộc vào giá trị của a,b,c (đ.p.c.m)
Bài toán 11: Cho biểu thức B = . Hãy chứng minh rằng nếu a,b,c là ba số nguyên liên tiếp thì B là một số nguyên chia hết cho 3.
Cách giải:
Theo kết quả bài toán 8 ta có B = a+b+c 	(9)
Theo bài ra a,b,c là ba số nguyên liên tiếp	(10)
Từ (9) và (10) ta suy ra: B = a+b+c M 3 (tổng ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 3)	(đ.p.c.m)
Bài toán 12: Cho M 9. Hãy chứng minh rằng A = a3 +b3 +c3 - 3abc M9
Cách giải: 
+ M 9 => 	a+b+c M 9 	(11)
+ Mặt khác: A= a3 +b3 + c3 - 3abc
 = (a+b+c) (a2+b2+c2 - ab - bc - ac) 	(12).
Từ (11) và (12) suy ra (đ.p.c.m)
Bài toán 13:
 a. Cho a,b,c, k là các số nguyên thoả mãn (a+b+c) M k. Hãy chứng minh rằng : A = a3 + b3 +c3 - 3abc M k.
b. Cho a,b,c,k là các số nguyên thoả mãn : a2 +b2 +c2 -ab - bc - ac M k. Hãy chứng minh rằng A = a3 + b3 +c3 - 3abc M k.
Cách giải:
Ta có: A = (a+b+c) (a2 +b2+c2 -ab - bc - ac) .
a. Do a+b+c M k . suy ra A M k 	(đ.p.c.m)
b. Do a2 +b2 +c2 -ab - bc - ac M k. suy ra A M k (đ.p.c.m)
Bài toán 14: Cho a+b+c = 2005. Hãy tính giá trị của biểu thức 
B = 
Cách giải: 
B = 
 = 
 = 
Nhận xét 4 : Nếu ta viết A = a3 + b3 + c3 - 3abc 
	 = (a3 - abc) + (b3 - abc) + (c3 - abc)
 Thì ta có vài nhận xét như sau:
+ A = a (a2 - bc)+ b (b2 - ac) + c (c2 - ab)
+ A = a2 
 + A = a3 
	Từ nhận xét 4 cho phép ta nghĩ đến một số bài toán sau:
Bài toán 15:
Cho x = a2 -bc; y = b2 - ac; z = c2 - ab. Hãy chứng minh rằng:
a. (ax +by +cz) M (a+b+c)
b. (ax +by +cz) M (x+y+z)
Cách giải:
a. Ta có : (ax +by +cz) = a (a2 - bc) + b (b2 - ac) + c(c2 - ab)
	 = a3 + b3 +c3 - 3abc 
	 = (a+b+c) (a2 +b2+c2 -ab - bc -ac) M (a+b+c)	
(đ.p.c.m)
	b. Ta có:	 x+y+z = (a2 - bc) +(b2 -ac) + (c2 - ab ) 
	 = a2 +b2 +c2 - ab- bc - ac (13)
	Theo câu a ta lại có:
ax + by + cz = (a+b+c) (a2 +b2 +c2 -ab - bc - ac) 	(14)
Từ (13) và (14) ta suy ra (đ.p.c.m) 
Bài toán 16: Cho x = a - Hãy chứng minh rằng 
(a2x + b2y +c2z) M (ax+by+cz) 
Cách giải:
+) a2x + b2y +c2z = a2 (a-
	 	= a3+b3+c3 - 3abc
	= (a+b+c) (a2+b2+c2 - ab - bc -ac)	(15).
+) 	ax + by + cz = a (
	= a2+b2+c2 - ab - bc - ac 	(16).
Từ (15) và (16) ta suy ra (đ.p.c.m).
Bài toán 17:
Cho:	 x = ;	y = ;	z = 
Hãy chứng minh rằng: a3x +b3y +c3z M a2x + b2y + c2z
Cách giải:
+) a3x +b3y +c3z = a3 (
	 = a3 + b3 + c3-3abc 
	 = (a+b+c) (a2 +b2 +c2- ab -bc-ac) 	(17)
+) a2x +b2y+c2z = a2 (
	 = a2 +b2+c2 - ab - bc - ac 	(18)
	Từ (17) và (18) ta suy ra (đ.p.c.m).
Nhận xét 5: Nếu ta cho A = a3 + b3 + c3 - 3abc = 0 
Thì ta suy ra: a3 +b3 +c3 = 3abc . Ta có hai nhận xét sau:
+)	 
+)	
Từ nhận xét 5 cho phép ta nghĩ đến một số bài toán sau:
Bài toán 18: 
Cho : a+b+c = 0. Hãy tính giá trị của biểu thức B = 
Cách giải:
Ta có: B = 
	 = 
	 = 
	 = 
	 = 3 (do a+b+c = 0)
Bài toán 19: Cho a+b+c = 0. Hãy tính giá trị biểu thức 
B = 
Cách giải: 	B = 
	 = 
	 = 3	(Theo bài toán 18).
Bài toán 20: Cho . Hãy tính giá trị của biểu thức 
B = 
Cách giải: 
	+) 
	=> 
	=> ab+bc+ac = 0	(19)
	+) B = 
	 = 
	= 	(20)
	Từ (19) và (20) ta suy ra B = 3. (Theo bài toán 18).
	Nhận xét 6: Nếu A= a3 + b3 +c3 - 3abc = 0 ta suy ra a+b+c =0 hoặc a=b=c.
- Trường hợp a+b+c = 0 ta suy ra : 
	a= - (b+c)
+)
b= - (a+c)	=> abc = - (a+b) (a+c) (b+c) => (a+b)(b+c) (a+c) = -abc
c = - (a+b)
	a = - (b+c)
+) Từ 	b = - (a+c)	 
	c = - (a+b)
Ta suy ra : 	
	 	=>	
=> (
- Trường hợp a = b = c ta có 
	=> 
	Từ nhận xét 6 cho phép ta nghĩ đến một số bài toán sau:
	Bài toán 21: Cho ba số khác không a,b,c thoã mãn điều kiện.
 	a3+b3+c3 - 3abc = 0. Hãy tính giá trị của biểu thức B = 
Cách giải: 
Từ a3 +b3 +c3 - 3abc => a = b = c hoặc a+b+c = 0 (Theo nhận xét 1).
Do đó : 	+) 	 B = (1+1) (1+1) (1+1) = 8	 Nếu a=b=c
	+) 	 B = Nếu a+b+c=0
	Bài toán 22: Cho ba số khác không a,b,c thoả mãn 
 a3b3+b3c3+a3c3 = 3a2b2c2 . Hãy tính giá trị của biểu thức. B = .
Cách giải: Đặt ab = x, bc = y, ac = z.
+ Ta có: x3 + y3 + z3 =3xyz	(21)
	+) 	=>	B = 
	 = 	(22)
	Từ (21) và (22) ta suy ra: B = 8 hoặc B = -1	(theo bài toán 21).
Nhận xét 7: Từ A = a3 +b3 +c3 - 3abc
	 = (a+b+c) (a2	+ b2 + c2 - ab - bc -ac) 
	 = (a+b+c) 
	Ta có nhận xét như sau: 
 A ³ 0 với mọi a+b+c > 0 dấu bằng xẩy ra khi a=b=c.
	Từ nhận xét 7 cho phép ta nghĩ đến một số bài toán sau:
	Bài toán 23: Cho a,b,c là ba số tự nhiên đôi một khác nhau. Hãy chứng minh rằng A = a3 + b3 +c3 -3abc không phải là số nguyên tố.
	Cách giải: 
	Ta có A = a3+b3+c3 - 3abc 	
	 = (a+b+c) (a2+b2+c2-ab - bc -ac) 	(23)
	Theo đề bài a,b,c là ba số tự nhiên và đôi một khác nhau nên ta suy ra:
	a+b+c ³ 3 
	a2+b2+c2 - ab -bc - ac ³ 3	 ( Theo bài toán 10)	(24)
	Từ (23) và (24) suy ra (đ.p.c.m)
	Bài toán 24: Cho các số dương a, b,c. 
Hãy chứng minh rằng B = a3 +b3 +c3 - 3abc không âm.
	Cách giải:
	Ta có : 	B = a3 +b3 + c3 - 3abc
	 = (a+b+c) (a2+ b2+c2 - ab - bc- ac)	
	 = 	(25)
	The bài ra a,b,c là các số dương nên ta lại có a+b+c >0	(26).
	Từ (25) và (26) ta suy ra (đ.p.c.m)
	Bài toán 25: Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác. Hãy chứng minh rằng 	B= a3 +b3+ c3 - 3abc ³ 0.
Cách giải: 
+ a,b,c là ba cạnh của một tam giác nên ta có : a+b+c>0 	(27)
+ Theo bài toán 24 ta có B = (28)
Từ (27) và (28) ta suy ra (đ.p.c.m)
Bài toán 26: Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác thoã mãn điều kiện a3 +b3 +c3 - 3abc = 0. Hãy nhận dạng tam giác đó.
Cách giải:
+) Theo bài toán 24 ta có: 
 a3+b3+c3 - 3abc = (29)
+) a,b,c là ba cạnh của một tam giác nên ta ta lại có a+b+c >0 	(30)
Từ (29) và(30) ta suy ra 
 a3 +b3 +c2 - 3abc = 0 	
	 a-b = 0
	 a-c = 0 => a = b = c 
	 b-c = 0 	
Suy ra tam giác đó là tam giác đều.
Bài toán 27: Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác, không phải là tam giác cân. Hãy chứng minh rằng a3 + b3 + c3 -3abc >0.
Cách giải:
+ Theo bài toán 24 ta có a3 +b3+c3 -3abc = (a+b+c) (a2+b2+c2 - ab - bc -ac) (31)
+ Theo giải thiết ta lại có: a+b+c>0 	(32) và a ạb ạc	(33)
Từ (31), (32) và (33) ta suy ra (đ.p.c.m)
Nhận xét 8: 
Nếu ta liên hệ hằng đẳng thức :
a3 +b3 +c3 - 3abc = (a+b+c) (a2+b2+c2 - ab-bc - ac) với hệ thức lượng thì ta có nhận xét như sau:
Nếu a làm một góc nhọn thì Cosa, Sina, Tga, Cotga là những số dương.
Từ nhận xét 8 cho phép ta nghĩ đến một số bài toán sau:
Bài toán 28: Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn. Hãy chứng minh rằng:
a. Sin3A+ Sin3B + Sin3C - 3 SinASinBSinC ³ 0.
b. Cos3A + Cos3B + Cos3C - 3 CosA CosB CosC ³ 0.
c. Tg3A + Tg3B + Tg3C - 3 TgA TgBTgC ³ 0.
d. Cotg3A + Cotg3B + Cotg3C - 3CotgA CotgB CotgC ³ 0.
Bài toán 29: Cho tam giác ABC có 3 góc đều nhọn thoả mãn điều kiện.
Tg3A + Tg3B + Tg3C - 3 TgA TgBTgC = 0. Hãy nhận dạng tam giác đó.
Cách giải: 
Bài toán 28 và bài toán 29 có cách giải giống các bài tập 25,26. Mong bạn đọc tự giải. 
Nhận xét 9: Nếu ta thay a,b,c bởi các đa thức một biến hoặc nhiều biến vào đa thức.
 A= a3+b3+c3 - 3abc thì ta sẽ được vô số các bài toán tương tự bài toán A.
Sau đây tôi xin đưa ra một vài bài toán của dạng này .
Bài toán 30:
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a. (x+1)3 + (2x+3)3+ (x-4)3 - 3(x+1) (2x +3) (x-4).
b. (x+y)3 + (y+z)3 + (x+z)3 - 3(x+y) (y+z) (x+z).
c. (x+2y)3 - (y-z)3 + (x+z)3 + 3(x+2y)(y-z)(x+z)
Bài toán 31: 
Giải các phương trình sau:
a. (x+1)3+(2x+1)3 + (x+2)3 - 3 (x+1)(2x+1)(x+2) = 0.
b. (1-x)3 + (2x-1)3  (1+3x)3 + 3(1-x) (2x - 1) (1+3x) = 0
c. (x+1)3 + (x-1)3 + (2x+1)3 + 3(1-x2) (2x+1) = 0
Cách giải:
Các bài tập 30a,b,c; 31a,b ta sử dụng hằng đẳng thức a3 + b3 +c3 - 3abc để giải trực tiếp.
Đối với bài 31c ta phải biến đổi 3(1-x2) (2x+1) = -3 (x+1) (x-1)(2x+1) sau đó giải tương tự bài 31a,b.
Bài toán 32: Giải phương trình nguyên dương:
(x+y)3 + (y+z)3 + (x+z)3 - 3(x+y) (y+z) (x+z) = 0
Cách giải: Ta biến đổi phương trình về dạng.
(x+y+z) 
 	(x-y)2 = 0	
	(y-z)2 = 0	
	(x-z)2 = 0 	(Do x+y+z >0)
=> x= y = z
ĐS: PT có nghiệm là (x;x;x) với xẻ N*
C- Kết luận và kiến nghị.
Những vấn đề tôi trình bày trên đây chỉ là một vài ý kiến nhỏ được rút ra trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh. Sau khi đã cung cấp những kiến thức cần thiết tôi thấy học sinh không ngần ngaị gì đến việc áp dụng hằng đẳng thức: a3+b3+c3 - 3abc = (a+b+c) (a2+b2+c2-ab-bc-ac)(*) vào giải. Không riêng gì những em có trình độ từ khá trở lên hứng thú và giải một cách rất nhanh, rất chính xác dạng toán này, mà những học sinh trung bình cũng nắm bắt được kiến thức cơ bản để vận dụng. Mặc dù sự tiến bộ ấy chưa được thể hiện một cách rõ nét nhưng tôi hy vọng rằng đây sẽ là những công cụ sắc bén, giúp học sinh có thể giải quyết tốt những bài toán có liên quan đến hằng đẳng thức như tôi đã trình bày .
Một bài toán hay, một dạng toán nào đó đều có thể khai thác theo nhiều hướng, nhiều cách khác nhau. Nhưng cái đích cuối cùng thì phải đưa được học sinh về cái gọi là kỷ năng và kỷ xảo làm toán. Chắc chắn bài viết của tôi còn nhiều khiếm khuyết và hạn chế. Tôi rất mong nhận được sự góp ý chân thành của bạn bè đồng nghiệp và tất cả mọi người say mê toán để bản sáng kiến này hoàn thiện hơn, đầy đủ hơn, phong phú và đa dạng hơn nữa.
	Tôi xin chân thành cảm ơn!