Phân loại và phương pháp giải bài toán bằng cách lập phương trình

 I - Lời nói đầu
 Dạng toán "Giải bài toán bằng cách lập phương trình" ở trương trình đại số lớp 8 và lớp 9 ở trường Trung học sơ sở là dạng toán tương đối khó đối với học sinh . Do đặc trưng của loại toán này thường là loại toán có đề bài bằng lời văn và thường được xen trộn nhiều ngôn ngữ (ngôn ngữ thông thường ngôn ngữ toán học,vật lý ) . Hầu hết các bài toán có các dữ kiện ràng buộc nhau, ẩn ý dưới dạng lời văn buộc học sinh phải suy luận tốt mới tìm được sự tương quan giữa các đại lương mà thưc chất các vấn đề khoa học giải toán là phương trình.
 Trong phân phối trương trình toán học ở trường Trung học cơ sở thì đến lớp 8 hoc sinh mới được học về khái niệm phương trình và các phép biến đổi tương đương các phương trình . Nhưng việc giải phương trình đã có trong chương trình toán học từ lớp 1 với mức yêu cầu tuỳ theo từng đối tượng học sinh.
 ở lớp 1và 2 phương trình được cho dưới dạng: Điền số thích hợp vào ô trống:
 o - 3 = 8
 ở lớp 3 được nâng lên dưới dạng: x+5-3=12	
 ở lớp 4,5,6 cho dưới dạng phức tạp hơn:
 X : 5 = 10 : 2
 6x + 4 = 16
 (x + 12). 5 =75
 ở lớp 7,8,9 ngoài những mối liên hệ như trên,bài toán còn có dưới dạng lời văn có các dữ kiện kèm theo.Vì vậy muốn giải được bài toán này học sinh phải có suy nghĩ để thiết lập mối quan hệ dẫn đến việc lập phương trình (hệ phương trình).
 Một đặc thù riêng của loại toán này là hầu hết các bài toán đều được gắn liền với nội dung thưc tế .Chính vì vậy mà việc chọn ẩn số thường là những số liệu có liên quan đến thực tế. Do đó khi giải toán hoc sinh thường mắc sai lầm thoát ly thực tế dẫn đến quên đữ kiện của ẩn.học sinh không khai thác hết mối liên hệ ràng buộc của thực tế Từ những lý do đó mà học sinh rất ngại làm loại bài toán này. Mặt khác cũng có thể trong quá trình giảng dạy do năng lực, trình độ của giáo viên mới chỉ dạy cho học sinh ở mức độ truyền thụ tinh thần của sách giáo khoa mà chưa biết phân loại toán, chưa khái quát được cách giải cho mỗi dạng. Kỹ năng phân tích tổng hợp của học sinh còn yếu trong quá trình đặt ẩn số, mối liên hệ giữa các dữ kiên trong bài toán dẫn đến lúng túng trong việc giải loại toán này.
 Chính vì vậy, muốn giải bài toán bằng cách lập phương trình hay hệ phương trình thì đều quan trọng là phải biết diễn đạt những mối liên hệ trong bài thành những mối quan hệ toán học. Do vậy nhiệm vụ của người thầy giáo không phải là giải bài tập cho học sinh mà vấn đề đặt ra là người thầy phải dạy hoc sinh cách giải bài tập. Do đó, khi hướng dẫn học sinh giải loại toán này, giáo viên phải dựa trên một số quy tắc chung.
 Yêu cầu về giải một bài toán, quy tắc gải bài toán bằng cách lập phương trình, phân loại các dạng bài toán dựa vào quá trình biến thiên của các đại lượng( tăng , giảm , thêm, bớt) làm sáng tỏ các mối quan hệ giữa các đại lượng dẫn đến lập được phương trình dễ dàng. Đây là bước quan trọng khó khăn đối với học sinh.
 Trong thời gian giản dạy ở trường Trung học cơ sở, qua học hỏi kinh nghiệm của các thầy giáo lớp trước và các đồng nghiệp với mong muốn được trao đổi cùng các đồng nghiệp những kinh nghiệm giảng dạy về dạng toán
"Giải bài toán băng cách lập phương trình"
 Do trình độ còn hạn chế nên đề tài này không tránh khỏi những sai sót. Rất mong các đồng nghiệp góp ý cho bản thân tôi rút được kinh nhgiệm trong bài giảng và áp dụng .
II -Yêu cầu giải một bài toán
I - Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình
 Một trong các phương pháp hướng dẫn học sinh giải loại toán trên là dựa vào quy tắc chung . Giải bài toán bằng cách lập phương trình . Nội dung quy tắc gồm các bước:
 Bước1 : Lập phương trình (gồm các công việc)
 -Chọn ẩn số, chú ý ghi rõ đơn vị và đặt đIễu kiện cho ẩn 
 -Dùng ẩn số và các số đã biết,đã cho trong bài toán đễ biểu thị số liệu khác có tên liên quan,diễn giải các bộ phận hình thành phương trình (hệ phương trình)
 Bước 2 :Giải phương trình (hệ phương trình)
 Tuỳ thuộc vào từng dạng phương trình mà chọn cách giảỉ cho thích hợp và ngắn gọn.
 Bước 3 : Nhận định kết quả, thử lại và trả lời
 -Chú ý so sánh với điều kiện đặt ra cho ổn thoả xem có thích hợp không. Sau đó trả lời kết quả (có kèm theo đơn vị)
 Mặc dù đã có quy tắc trên xong người giáo viên trong quá trình hướng dẫn giải loại toán này cần cho học sinh vận dụng theo sát yêu cầu về gải một bài toán nói chung.
II - Yêu cầu về giải một bài toán 
 1 -Yêu cầu 1: Lời giải không phạm sai lầm và không có sai sót măc dù nhỏ.
 Muốn cho học sinh không mắc sai phạm này giáo viên phải làm cho học sinh hiểu đề toán và trong quá trình giải không sai sót về kiến thức, phương pháp suy luận, kỹ năng tính toán,ký hiệu, kiều kiện bài toán 
 (Bài 11, SGK, đề số 8)
 Ví dụ : Đường sông từ thành phố A đến thành phố B ngắn hơn dương bộ 10 Km. Để đi từ A đến B, một ca nô đi hết 3 giờ 20 phút, một ô tô đi hết 2giờ. Biết vận tốc ca nô kém vân tốc ô tô là 17 km/h.Tính vận tốc ca nô.
 *Hướng dẫn cho học sinh :
 Ta biểu thị các đại lương đã biết và chưa biết trong bảng để tránh nhầm lẫn giữa các đaị lượng
Vận tốc (Km/h)
Thời gian(h)
Quãng đường(Km)
Ca nô
x
3 1/3
3 1/3 x
Ô tô
X + 17
2
2(x+17)
 Vì bảng trên ta có thể chọn ẩn và trình bày lời giải như sau:
 Gọi vân tốc của ca nô là x (km/h) x>0
 Vận tốc của ô tô là x+17(km/h)
 Đường sông từ Ađến B dài 3 1/3 km
 Đường bộ từ Ađến B dài 2(x + 17) (km) 
 Theo bài ra ta có phương trình :
 2(x + 17) -3 1/3 =10
 Giả phương trình ta có x = 18
 X=18thoả mãn đIều kiện x>0 ị vận tốc ca nô là 18 km/h 
 2 - Yêu cầu2 : Lời giải phải đấy đủ chính xác, chú ý nhất là điêu kiện của ẩn . Muốn học sinh không sai phạm sai lầm khi lấy nghiệm nào phù hợp của ẩn.Giáo viên phải giúp học sinh kết hợp điều kiện để loại nghiệm không phù hợp khi giải phương trình.
 Ví dụ 2 : (SGK Đề số 9)
Hai cạnh hình chữ nhật hơn kém nhau 6 cm. Diện tích của nó bằng 40 cm2.Tính các cạnh của hình chữ nhật.
 Chú ý: Khi giải loai toán này phải chú ý điều kiện độ dài hình học luôn luôn là một số dương .
 Gọi môt cạnh của hình chữ nhật là x (cm) (x>0)
 Thì cạnh kia là (x+6) (cm)
 Ta có phương trình ; x(x+6)=40 hay x2+6x -40=0
 Giải phương trình ;x1=4 ; x2=-10
 Giáo viên giúp học sinh từ điêu kiện để loại nghiệm x2chỉ lấy nghiệm 
 x1=4 chiều rộnghình chữ nhật là : 4cm
 Chiếu dài hình chữ nhật là : 4+6=10cm
 ở bài này nhgiệm x1=-10 có giá trị tuyệt đối bằng chiều dài hình chữ nhật,hoc sinh dễ mắc sai sót coi đó cũng là kết quả của bài toán
 3- Yêu cầu 3:Lời giải phải dủ và mang tính toàn diện.
 Hướng dẫn học sinh không đọc bỏ sót một chi tiết nào, không thừa nhưng cũng không thiếu . Rèn cho học sinh cách kiểm tra lại lời giải đã đầy đủ chưa? Kết quả bài toán đã là đại diên phù hợp với mọi cái chung. Nếu thay đổ điều kiện bài toán rơi vào trường hợp đặc biệt kết quả vẫn luôn luôn đúng.
 Ví dụ 3:(Bài ôn luyện toán 9-NXB Hà Nội )
 Một tam giác có chiều cao bằng 3/4 cạng đáy . Nếu chiều cao tăng thêm 3 dm và cạnh đáy giảm đi 2dm thì diện tích của nó tăng thêm 12dm2.Tính chiều cao và cạnh đáy .
 Lưu ý học sinh :Dù có thay đổi chiều cao,cạnh đáy của tam giác thì diện tích(S) của nó luôn được tính theo công thức:
 S=1/2 (cạnh dãy x chiều cao)
 Từ đó, gọi chiều dài cạnh đáy (lúc đầu)là xdm (x>0)
 Thì chiều cao sẽ là 3/4x(lúc đầu)
 ị S r lúc đầu là 1/2x .3/4x
 ị S r lúc sau là 1/2 (x-2).(3/4x+3)
 Theo bài ra ta có phương trình: 	
 Giải phương trình ta được x=20 thoả mãn diều kiện 
 ị chiều cao của tam giác là : 3/4 .20= 15dm
 4- Yêu cầu 4: Lời giải của bài toán phải đơn giản.
 Bài giải phải đảm bảo được ba yêu cầu trên.Không sai sót có lập luận mang tính toàn diện và phù hợp với kiến thức ,trình độ đại đa học sinh hiểu và làm được 
 Ví dụ 4:(bài toán cổ) 
 Vừa gà vừa chó 
 Bó lại cho tròn 
 Ba mươi sáu con 
 Một trăm chân chẵn 
 Hỏi có mấy gà mấy chó?
 Với bài toán này nếu giải như sau:
 Gọi số gà là x (x>0;x ẻ N) thì số chó là 36 - x
 Gà có 2 chân ị số chân gà là 2x chân
 Chó có 4 chân ị số chân chó là 4 (36-x) chân
 Theo bài ra,ta có phương trình :2x + 4( 36 - x) = 100 (1)
 Giải phương trình ị x=22 ị gà có 22 con
 ị số chó là 36-22=14 con 
 Giải như trên thì bài toán ngắn gọn dễ hiểu.
 Nhưng học sinh giải theo cách dùng 2 ẩn (x,y) khi đó bài toán trở nên khó hiểu và phức tạp.
 Hoặc gọi số chân gà là x ị số chân chó là 100-x
 ị phương trình là : (2)
 Rõ ràng phương trình (1) đơn giản hơn phương trình (2).Do đó cần lưu ý học sinh chọn cách đơn giản dễ hiểu nhất phù hợp với trình độ của hoc sinh .
 5- Yêu cầu : Lời giải phải trình bày khoa học
 đó là lưu ý mối liên hệ giữa các bước giải trong bài toán lôgic chặt chẽ với nhau,các bước sau phải được suy ra từ các bước trước nó đã được kiểm nghiệm, chứng minh là đúng ,hoăc những điều đủ biết từ trước.
 Ví dụ 5 :(Toán phát triển đại 9)
 Tìm số tự nhiên có 2 chữ số,biết răng nếu đem số đó chia cho tổng các chữ số của nó thì gọi là 4 và dư 3,còn nếu đem số đó chia cho tích các chữ số của nó thì được thương là chia 3 và dư 5.
 Bài toán yêu cầu tìm số có 2 chữ số 
 Trước khi giải cần lưu ý học sinh về điều kiện của các chữ số.Chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị có điều kiện khác nhau : 0<a 9; 0 b 9.
 =>Gọi chữ số hàng chục là x thì chữ số hàng đơn vị là y (0 x 9 ; 0 y 9)
 Số đã cho là 10x+y
 Theo đề bài ra ta có hệ phương trình.
 10x+y=4(x+y)+3.
 10x+y=3xy+5.
Giải hệ ta được x1=1/2; x2=2
 x1=1/2 không phù hợp với điều kiện loại
 x2=2 ị y=3
 Vậy số phải tìm là 23 
 6. Yêu cầu 6 : Lời giải bài toán rõ ràng đầy đủ (có nên thử lại)
 Lưu ý đến việc giải các bước lập luận, tiến hành không chồng chéo nhau, phủ định lẫn nhau, kết quả phải đúng .
 Muốn vậy cần rèn luyện cho học sinh sau khi giải xong cần thử lại kết quả và tìm các nghiệm của bài toán, tránh bỏ sót,nhất là đối với các phương trình bậc hai,hệ phương trình 
 Ví dụ 6:(Toán phát triển đại 9)
 Độ dài cạnh huyền của một tam giác vuông là 25, còn độ dài cạnh vuông góc là 35 . Tìm độ dài mỗi cạnh góc vuông của một tam giác ? 
 Hướng dẫn ; Gọi độ dài của các cạnh góc vuông của tam giác là x,y (x,y>0)
 Ta có hệ phương trình x+y=35 (1)
 x2+y2=252=625 (2)
 Rút y từ phương trình (1) thay vào phương trình (2)ta có phương trình .
 x2-35x+330=0
 Giải phương trình (2) ta được x1=20, x2=15.
 Đến đây hoc sinh hay hoang mang và ra kết quả (thực chất trong bài toán tam giác vuông là1) không biết lấy kết quả nào ?
 Giáo viên cần xây dựng cho học sinh một thói quen đối chiếu kết quả với điều kiện đầu bài nếu đảm bảo thì các nghiệm đều hợp lý. Một bài toán không nhất thiết phải có một kết quả và được kiểm chứng lại bằng vịêc thử lại tất cả các kết quả đó với yêu cầu của bài toán.
II: phân loại bài toán giải bài toán bằng cách lập phương trình và các giai đoạn giải một bài toán.
I . Phân loại các bài toán giải bằng cách lập phương trìnhvà hệ phương trình 
 Trong 74 tập sách ở lớp 8 và lớp 9,Giải bài toán băng cách lập phương trình và hệ phương trình có phân loại như sau.
Loại toán về chuyển động
Loại toán có liên quan đến số học 
Loại toán về năng suất lao động(Tỷ số %)
Loại toán về công việc làm chung, làm riêng( toán quy về đơn vị)
Loại toán về tỷ lệ chia phần(thêm, bớt, tăng, giảm, tổng hiệu, hệ số của chúng)
Loại toán có liên quan hình học 
Loại toán có chứa tham số 
Loại toán có nôi dung vật lý 
II. Các giai đoạn giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình .
 I . Phần giai đoạn;
Với bài toán bậc nhất 1ấn số :là dạng bài toán sau đây dựng phương trình, biến đổi tương đương về dạng.
 ax+b =0 (aạ 0) 
Với bài toán giải bài toán băng phương trình bậc 2 là dạng toán sau khi xây dựng phương trình, biến đổi tương đương về dạng nguyên (như mẫu số ) có dạng 
 ax+by=c
 a,x+b,y=c,
 Trong đó a,b.a,,b, không đồng thời bằng 0
 Để đảm bảo 6 yêu cầu về giải một bài toán và 3 bước trong quy tắc giải bài toán bằng cách lập phương trrình (hệ phương trình) như phần 1 đã trình bày thì giải bài toán loại này có thể chia thành 7 giai đoạn cụ thể rõ hơn trong 3 quy tắc giải bài toán bằng cách lập phương trình (hệ phương trình).
*Giai đoạn 1 : Đọc kỹ đề bài viết giả thiết kết luận bài toán giúp học sinh hiểu bài toán cho những điều kiện gì? cần tìm gì? (có thể mô tả bằng hình vẽ được không) 
*Giai đoạn 2 : Nêu rõ các vấn đề liên quan để lập phương trình.Tức là chọn ẩn số thế nào cho phù hợp, điều kiện thế nào cho ẩn số thoả mãn.
*Giai đoạn 3 : Lập phương trình, dựa vào các quan hệ giữa ẩn số và đại lượng đã biết ,dựa vào công thức ,tính chất để xây dựng về phương trình ở dạng đã biết,đã giải được
*Giai đoạn 4 : Giải phương trình bước (2)vận dụng các kỹ năng giải phương trình đã biết để tìm nghiệm các phương trình
*Giai đoạn 5 : Nghiên cứu nghiệm của phương trình để xác định lời giải của bài toán.Tức là xét nghiệm của phương trình với điều kiện đặt ra của bài toán, với thực tiễn xem có phù hợp không.
*Giai đoạn 6 : Trả lời bài toán, kết luận nghiệm của bài toán xem có mấy nghiệm sau khi đã thử lại .
*Giai đoạn 7 : Phân tích biện luận bài giải. Phần này thường được mở rộng cho những học sinh tương đối khá giỏi sau khi diễn giải xong để gợi ý cho học sinh biến đỏi bài tóan đã co thành bài khác,ta có thể .
- Giữ nguyên ẩn số , thay đỏi các yếu tố khác (dữ liệu và giả thiết)
- Giữ nguyên dữ kiện, thay đổi các yếu tố khá.(ẩn số và giả thiết) nhằm phát triển tư duy toán học cho học sinh .
- Giải bài toán bằng cách tìm cách giải hay nhất 
2. Ví dụ minh họa cho các giai đoạn giải bài toán bằng cách lập phương trình 
Ví dụ .(bài tập đại số 8)
Tổng của 2 số bằng 90.Số này gấp đôi số kia.Tìm 2 số đó
Hướng dẫn giải.
Giai đoạn 1: Giả thiết : Số thứ nhất +số thứ hai=90
 Số thứ nhất =2 lần số thứ hai 
 Kết luận: Tìm số thứ nhất, số thứ hai 
Giai đoạn 2 : Thường là điều chưa biếtđược gọi là ẩn số ở bài này cả số thứ nhất và số thứ hai đều chưa biết nên có thể coi một trong hai số(hoặc cả hai số ) .
Cụ thể: Gọi số thứ nhất là x thì số thứ hai là 90-x(hoặc số thứ nhất là y)thì x+y=90.
Giai đoạn 3 : Lập phương trình.
Vì số thứ nhất gấp đôi số thứ hai.Do đó mối quan hệ sẽ là số thứ nhất bằng hai lần số thứ hai 
Ta có phương trình x=2.(90-x) (1)
Hoặc x=2.y
 x+y=90 (2)
 Giai đoạn 4 : Giải phương trình 
 Tiếp theo cách lập phương trình dẫn đến giải phương trình bậc nhất (1) hoặc hệ phương trình (2)
 Giải (1)ta được x=60
 Gải (2) ta được x=60,y=30
 Giai đoạn 5 : đối chiếu nghiệm đã giải với điều kiện xem có thoả mãn hay không 
 ở đây x=60 => số thứ hai là 30
 Thử lại : Số thứ nhất :60
 Số thứ hai: 30
 Số thứ nhất bằng 2 lần số thứ hai (60=2.30)
 Giai đoạn 6 : Trả lời đáp số .
 Vậy số thứ nhất là60
 Số thứ hai là 30
 Giai đoạn 7 : khai thác bài toán 
 -Hướng cho học sinh các cách giải khác
 -Chọn các ẩn số khác nhau 
 - Chọn cách giải ngắn nhất hay nhất,dễ giải nhất 
 - Có thể từ bài toán này xây dựng hoạc giải các bài toán tương tự bằng cách 
 + Thay số liệu dữ nguyên lời văn và dữ kiện 
 + Thay lời văn và dữ kiện 
 + Thay kết luận thành giả thiết và ngược lại
III : Kết luận
 Trong quá trình giảng dạy tôi đã tìm tòi, học hỏi qua tài liệu và đồng nghiệp mà đúc rút ra được kinh nhgiệm chứ chưa có gì gọi là sáng kiến do đó đề tài không tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế rất mong sự đóng góp ý kiến của ban giám khảo và các bạn đồng nghiệp để làm kinh nghiệm quý báu cho bản thân tôi trong công tác giảng dạy 
 Thái thụy ngày 22 tháng 05 năm 2010