Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình

PHẦN A. MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
 Trong chương trình giáo dục phổ thông của nước ta hiện nay nhìn chung tất cả các môn học đều cho chúng ta tiếp cận với khoa học hiện đại và khoa học ứng dụng. Đặc biệt bộ môn toán, các em được tiếp thu kiến thức xây dựng trên tinh thần toán học hiện đại. ngay từ khi cắp sách đến trường các em đã làm quen với phương trình dưới dạng đơn giản đó là các bài toán tìm x và cao hơn nữa ở lớp 8, lớp 9 dạng toán: “Giải bài toán bằng cách lập phương trình” là dạng toán tương đối khó đối với học sinh. Đặc trưng của dạng toán này là đề bài cho dưới dạng lời văn và có sự đan xen của nhiều dạng ngôn ngữ khác nhau như ngôn ngữ thông thường, ngôn ngữ toán học, vật lý, hoá học.
 Trong nhiều bài toán lại có các dữ kiện ràng buộc lẫn nhau, ẩn ý dưới dạng lời văn buộc học sinh phải có suy luận tốt mới tìm được mối liên hệ giữa các đại lượng để dẫn đến lập phương trình .
 Mặt khác, loại toán này các bài toán đều có nội dung gắn liền với thực tế. Chính vì thế mà việc chọn ẩn thường là những số liệu có liên quan đến thực tế. Do đó khi giải học sinh thường mắc sai lầm là thoát ly với thực tế dẫn đến quên điều kiện của ẩn, hoặc không so sánh, đối chiếu kết quả với điều kiện của ẩn. Hoặc học sinh không khai thác hết các mối liên hệ ràng buộc của thực tế. Mặt khác kĩ năng phân tích, tổng hợp của học sinh trong quá trình giải bài tập còn yếu. Với những lý do đó mà học sinh rất sợ và ngại làm loại toán này. Ngoài ra, cũng có thể do trong quá trình giảng dạy giáo viên mới chỉ truyền thụ cho học sinh những kiến thức theo tinh thần của sách giáo khoa mà chưa chú ý phân loại các dạng toán, chưa khái quát được cách giải cho mỗi dạng. Chính vì thế giải bài toán bằng cách lập phương trình chỉ đạt kết quả tốt khi biết cách diễn đạt những mối quan hệ trong bài thành những mối quan hệ toán học. Vì vậy nhiệm vụ của người thầy không phải là giải bài tập cho học sinh mà vấn đề đặt ra là người thầy phải dạy học sinh cách suy nghĩ để tìm lời giải bài tập và giải bài tập .
 Trong quá trình giảng dạy ở trường THCS và qua sự trao đổi, học hỏi kinh nghiệm của các đồng nghiệp trong trường và được sự động viên, giúp đỡ của các đồng nghiệp tôi đã mạnh dạn viết sáng kiến này với suy nghĩ và mong muốn được trao đổi với đồng nghiệp những kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy về loại toán “ Giải bài toán bằng cách lập phương trình ” và sáng kiến kinh nghiệm “Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình” chỉ xét trong phạm vi chương trình của lớp 8 và lớp 9 . 
II. MỤC TIÊU NGHIÊN CỨU:
1. Mục đích nghiên cứu:
 Mục đích nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm “Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình” là:
 + Giáo viên có thêm kinh nghiệm trong việc áp dụng phương pháp giảng dạy cho từng dạng bài, chuyên môn vững vàng hơn.
 + Học sinh nhận dạng được các bài toán về giải bài toán bằng cách lập phương trình, nắm được phương pháp làm của mỗi dạng có khả năng giải tốt từ đó kích thích sự ham học của học sinh làm phong phú thêm các phương pháp giảng dạy . 
2. Nhiệm vụ nghiên cứu:
+ Hướng dẫn và định hướng các dạng bài cơ bản về giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phưong trình ở môn Đại số 8, 9.
+ Hình thành cách giải và phương pháp giải bài toán bằng cách lập phương trình cho HS. 
3. Phạm vi nghiên cứu:
a. Phạm vi của đề tài: Là nghiên cứu đưa ra biện pháp, giải pháp tìm lời giải cho dạng toán giải bài toán bằng cách lập phương trình ở môn Đại số lớp 8 và lớp 9.
b. Thời gian nghiên cứu: Từ tháng 9/2009 đến tháng 9/2011
PHẦN B. NỘI DUNG
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ LUẬN
 Như đã nói ở phần đầu, loại toán “Giải bài toán bằng cách lập phương trình” là bài toán có văn, với loại toán này vấn đề đặt ra trước hết là phải lập được phương trình từ những dữ kiện mà bài toán đã cho thông qua tìm lời giải, sau đó mới là cách giải phương trình để tìm nghiệm thoả mãn yêu cầu của đề bài.
 Giải bài toán bằng cách lập phương trình gồm các bước giải sau:
Bước 1: Lập phương trình:
+ Chọn ẩn và xác định điều kiện cho ẩn .
+ Biểu thị các số liệu chưa biết qua ẩn .
+ Tìm mối liên quan giữa các số liệu để lập phương trình.
Bước 2: Giải phương trình.
Bước 3: Chọn kết quả thích hợp và trả lời.
CHƯƠNG II: THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ CẦN NGHIÊN CỨU
1. Thực trạng chung của học sinh khi gặp các bài toán “ Giải bài toán bằng cách lập phương trình”.
a. Đối với HS:
 - Ở các bước trên thì bước 1 là quan trọng nhất vì có lập được phương trình phù hợp với đề bài thì mới có được kết quả của bài toán đã ra. Đây chính là khâu khó nhất đối với học sinh, những khó khăn thường gặp:
+ Không biết tóm tắt bài toán để đưa bài toán từ nội dung thực tế về bài toán mang nội dung toán học, đặc biệt khó khăn hơn nữa với học sinh vùng cao do chưa hiểu hết ngôn từ phổ thông. Không xác định được đại lượng nào phải tìm các số liệu đã cho, đại lượng nào đã cho.
+ Không biết cách chọn ẩn, điều kiện của ẩn.
+ Không biết biểu diễn và lập luận mối liên hệ của ẩn theo các dự kiện của bài toán. Không xác định được tình huống xảy ra và các đại lượng nào mà số liệu chưa biết ngay được .
 Những lí do trên dẫn đến học sinh không thể lập được phương trình, hệ phương trình.
- Ở bước 2 thông thường học sinh không giải được phương trình mà lí do cơ bản là học sinh chưa phân dạng được phương trình, hệ phương trình để áp dụng cách giải tương ứng với phương trình, hoặc học sinh không biết cách giải phương trình.
- Đối với bước 3 học sinh thường gặp khó khăn trong các trường hợp sau:
 + Không chú trọng khâu thử lại nghiệm của phương trình với các dự kiện của bài toán và điều kiện của ẩn.
+ Không biết biện luận: Chọn câu trả lời, các yếu tố có phù hợp với điều kiện thực tế không ?.
b. Những khó khăn của giáo viên khi hướng dẫn học sinh tìm lời giải với dạng toán này:
+ Chưa định hướng cho HS cách chọn ẩn và mối liên hệ theo ẩn.
+ Không định hướng cho HS được dạng bài toán và phân loại kèm theo cách giải.
+ Không biết diễn đạt để HS khai thác bài toán.
Những số liệu dẫn chứng minh hoạ: 
a. Thuận lợi: 
* Đối với HS: Trong năm học 2009 – 2010 tôi trực tiếp giảng dạy môn toán lớp 8, 9 tại Trường THCS Ngô Quyền. Số đông các em đều ngoan, các em đều sống tập trung tại địa bàn xã. 
* Đối với GV: Các đồng chí GV trong nhóm Toán đều được đào tạo từ chuẩn trở lên, có ý thức tự bồi dưỡng chuyên môn. Có tâm huyết với nghề, tận tâm, tân tụy với HS.
b. Khó khăn: 
* Đối với HS:
+ Học sinh dân tộc thiểu số còn chiếm tỷ lệ khá cao nên khả năng diễn đạt ngôn ngữ còn có những hạn chế nhất định.
+ Điều kiện kinh tế gia đình các em còn thấp nên các em thường xuyên phải nghỉ học giúp gia đình, do đó việc học của các em đôi khi bị gián đoạn.
+ Một số phụ huynh học sinh chưa thực sự quan tâm đến con em mình. 
* Đối với GV: Một số giáo viên còn hạn chế về phương pháp.
 c. Thông kê ban đầu: Đối với học sinh gặp dạng toán giải bài toán bằng cách lập phương trình như sau: 
Lớp
Điểm
Sĩ số
Giỏi
Khá
T.Bình
Yếu
Kém
8A
38
0
2
15
16
5
8B
37
0
0
6
19
12
9A
38
1
5
12
14
6
9B
39
0
0
9
20
10
 CHƯƠNG III: BIỆN PHÁP - GIẢI PHÁP
YÊU CẦU VỀ GIẢI MỘT BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH
 Ở các bước trên thì bước một là quan trọng nhất vì có lập được phương trình phù hợp với đề bài thì mới có được kết quả của bài toán đã ra. Để có thể giải đúng, nhanh bài toán giải bài toán bằng cách lập phương trình cả giáo viên và học sinh cần chú ý:
 + Đọc kĩ đề bài và tóm tắt bài toán để hiểu rõ: đại lượng phải tìm, các đại lượng và số liệu đã cho, mô tả bằng hình vẽ nếu cần, chuyển đổi đơn vị nếu cần. 
 + Thường chọn trực tiếp đại lượng phải tìm làm ẩn, chú ý điều kiện của ẩn sao cho phù hợp với yêu cầu của bài toán và với thực tế.
 + Xem xét các tình huống xảy ra và các đại lượng nào mà số liệu chưa biết ngay được.
 + Khi đã chọn số chưa biết của một đại lượng trong một tình huống là ẩn khi lập phương trình phải tìm mối liên quan giữa các số liệu của một đại lượng khác hoặc trong một tình huống khác. Mối liên hệ này được thể hiện bởi sự so sánh
( bằng, lớn hơn, bé hơn, gấp mấy lần ...).
 + Khi đã lập phương trình cần vận dụng tốt kỹ năng giải các dạng phương trình đã học để tìm nghiệm của phương trình.
 + Cần chú ý so sánh nghiệm tìm được của phương trình với điều kiện của bài toán và với thực tế để trả lời.
 Mặc dù đã có quy tắc chung để giải loại toán này. Xong người giáo viên trong quá trình hướng dẫn học sinh giải loại toán này cần cho học sinh vận dụng theo sát các yêu cầu sau :
 1. Bài toán không được sai sót: 
Để bài giải của học sinh không sai sót, trước hết người giáo viên phải phân tích cho học sinh hiểu bài toán vì nếu hiểu sai đề bài thì sẽ trả lời sai. Học sinh cần hiểu rõ mục đích của các công việc đang làm, chú ý không được bỏ qua điều kiện của ẩn, đơn vị của ẩn.
 2. Lời giải phải có lập luận:
 Trong quá trình giải các bước phải có lập luận chặt chẽ với nhau. Xác định ẩn khéo léo. Mối quan hệ giữa ẩn và các dữ kiện đã cho phải làm bật nên được ý phải đi tìm. Nhờ mối tương quan giữa các đại lượng trong bài mà lập phương trình.Từ đó tìm được các giá trị của ẩn.
 3. Lời giải phải mang tính toàn diện:
 Cần hướng dẫn học sinh hiểu rằng kết quả của bài toán tìm được phải phù hợp với cái chung, với thực tế trong trường hợp đặc biệt thì kết quả vẫn còn đúng.
 4. Lời giải phải đơn giản: 
 Lời giải ngoài việc phải đảm bảo ba yêu cầu nói trên cần phải chọn cách làm đơn giản mà đa số học sinh đều hiểu và có thể tự làm lại được.
5. Trình bày lời giải phải ngắn gọn và khoa học:
 Khoa học ở đây là mối quan hệ giữa các bước giải của bài toán phải lôgic, chặt chẽ với nhau, các bước sau tiếp nối các bước trước và được suy ra từ bước trước, nó đã được kiểm nghiệm và chứng minh là đúng hoặc những điều đó đã được biết từ trước .
6. Lời giải phải rõ ràng:
 Nghĩa là các bước giải phải không được chồng chéo lên nhau, hoặc phủ định lẫn nhau. Các bước giải phải thật cụ thể và chính xác.
7. Những lưu ý khác:
- Cần chú trọng việc đưa bài toán thực tế về bài toán mang nội dung toán học thông qua việc tóm tắt và chuyển đổi đơn vị.
- Để thuận tiện và tạo điều kiện dễ dàng khi khai thác nội dung bài toán cần:
+ Vẽ hình minh hoạ nếu cần thiết.
+ Lập bảng biểu thị các mối liên hệ qua ẩn để lập phương trình.
II. PHÂN LOẠI VÀ TÌM CÁCH GIẢI CÁC BÀI TOÁN GIẢI BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH
1) Dạng toán chuyển động.
2) Dạng toán liên quan đến số học.
3) Dạng toán về công việc, vòi nước. 
4) Dạng toán về năng suất lao động. 
5) Dạng toán về tỷ lệ chia phần. 
6) Dạng toán liên quan đến hình học.
7) Dạng toán có nội dung Vật lý, Hoá học.
8) Một số bài toán cổ.
III. NHỮNG BÀI TOÁN CỤ THỂ HƯỚNG DẪN TÌM TÒI LỜI GIẢI VÀ HỌC SINH THỰC HIỆN GIẢI
1. Dạng toán chuyển động:
a. Hướng dẫn học sinh tìm lời giải:
- Với dạng toán này cần khai thác ở các đại lượng:
+ Vận tốc.
+ Thời gian.
+ Quãng đường đi.
Lưu ý phải thống nhất đơn vị.
- Chọn ẩn và điều kiện ràng buộc cho ẩn.
- Tuỳ theo từng nội dung mà chọn ẩn cho phù hợp, sau đó giáo viên hướng dẫn học sinh khai thác để tìm lời giải như sau:
Các trường hợp
(Hay loại phương tiện)
Vận tốc(km/h)
Thời gian(h)
Quãng đường(km)
Theo dự định
Theo thực tế
Phương trình lập được 
b. Bài toán minh hoạ:
 Bài toán: Đường sông từ thành phố A đến thành phố B ngắn hơn đường bộ 10 km. Để đi từ A đến B, một ca nô đi hết 3 giờ 20 phút, một ô tô đi hết 2 giờ. Biết vận tốc của ca nô kém vận tốc của ô tô là 17km/h.Tính vận tốc của ca nô?
+ Hướng dẫn giải: 
Hướng dẫn học sinh biểu thị các đại lượng đã biết và chưa biết vào trong bảng:
Phương tiện
Vận tốc(km/h)
Thời gian(h)
Quãng đường(km)
Ca nô
x
Ô tô
x+17
2
2.(x+ 17)
Phương trình lập được
+ Lời giải :
Cách 1: Gọi vận tốc của ca nô là x (km/h) (x > 0)
 Vận tốc của ô tô là: x +17 (km/h)
 Đường sông từ A đến B dài là: (km)	
 Đường bộ từ A đến B dài là: 2.(x+17) (km)
 Theo đề bài thì đường sông ngắn hơn đường bộ là 10 km ta có phương trình: 
x = 18 ( thoả mãn điều kiện ).
Vậy vận tốc của ca nô là 18 km/h.
Cách 2: Gọi quãng đường sông dài là x (km) (x > 0)
Ta có bảng sau:
Phương tiện
s (km)
t(h)
v (km/h)
Ca nô
x
ô tô
x+10
2
(x+10):2
Phương trình lập được
Ta có phương trình:
 (thoả mãn điều kiện)
Vậy vận tốc của ca nô là: (km/h)
Bài toán 2: Anh Hùng đi xe đạp từ nhà lên tỉnh với vận tốc dự định là 10 (km/h). Trong 1/3 quãng đường đầu tiên anh đi với vận tốc ấy. Sau đó anh đi với vận tốc bằng 150% vận tốc cũ. Do đó anh đã đến sớm hơn dự định là 20 phút. Tính quãng đường từ nhà đến tỉnh.
+ Hướng dẫn cách tìm lời giải.
+ Vẽ sơ đồ:
 x
 A	C 	 B
 10km/h 150%.10km/h
+ Nếu gọi quãng đường AB là x (km), ta có thể hướng dẫn học theo bảng sau:
Các trường hợp
S (km)
v (km/h)
t (h)
Dự định đi
x
10
Thực tế đi
 quãng đường
x
10
x: 10
 quãng đường
x
10.150%=15
x:15
Phương trình lập được
+ Lời giải: Gọi quãng đường cần tìm là x(km), x > 0
Thời gian dự định đi với vận tốc 10 km/h là: (h)
Thời gian đi 1/3 quãng đường đầu là: (.x):10 = (h)
Thời gian đi 2/3 quãng đường sau là: (.x):15 = (h)
 Đổi 20 phút = 1/3 giờ 
 Do đó theo đề bài ta có phương trình: 
x= 15 thoả mãn đề bài. Vậy quãng đường cần tìm là 15 km.
 Tóm lại: Với dạng toán chuyển động thì giáo viên cần làm cho học sinh hiểu được mối quan hệ giữa các đại lượng: quãng đường, vận tốc, thời gian và các đại lượng này liên hệ với nhau bởi công thức: S = v.t 
 Trong quá trình chọn ẩn nếu ẩn là quãng đường, vận tốc, hay thời gian thì điều kiện của ẩn là luôn dương. Nếu thời gian của chuyển động đến chậm hơn dự định thì lập phương trình: Thời gian dự định + thời gian đến chậm = Thời gian thực tế. Nếu chuyển động trên một quãng đường thì thời gian và vận tốc tỉ lệ nghịch với nhau.
2. Dạng toán liên quan tới số học:
a. Hướng dẫn học sinh tìm lời giải:
- Những lưu ý khi giải các bài tâp:
+ Viết chữ số tự nhiên đã cho dưới dạng tổng các lũy thừa của 10:
 .
+ Số chính phương: Nếu a là số chính phương thì a = b2( )
- Hướng dẫn học sinh theo bảng thông thường như sau:
Cách trường hợp
Chữ số hàng chục
Chữ số hàng đơn vị
Mối liên hệ
Ban đầu
Về sau
Phương trình lập được
b. Bài toán minh hoạ:
Bài toán: Một số tự nhiên có hai chữ số. Tổng các chữ số của nó bằng 16. Nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì được một số lớn hơn số đã cho là 18. Tìm số đã cho?.
* Hướng dẫn giải:
- Bài toán tìm số có hai chữ số thực chất là bài toán tìm hai số (chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị )
- Biểu diễn số có hai chữ số dưới dạng: ab = 10a + b 
- Biết chữ số hàng chục tính chữ số hàng đơn vị 
- Khi đổi chỗ hai chữ số cho nhau ta được số ba, tìm mối liên hệ giữa số mới và số cũ. 
- Chú ý điều kiện của các chữ số.
Các trường hợp
Chữ số hàng chục
Chữ số hàng đơn vị
Mối liên hệ
Ban đầu
x
16-x
Về sau
16 - x
x
Phương trình lập được
* Cách giải:
Gọi chữ số hàng chục của số phải tìm là x ( 0 < x) 
Chữ số hàng đơn vị là 16 - x 
Số phải tìm có dạng: x(16- x)
Sau khi đổi chỗ chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị cho nhau ta được số mới là: (16- x)x
Theo đề bài số mới lớn hơn số đã cho là 18 đơn vị, nên ta có phương trình:
 x( 16- x) + 18 = (16- x)x
 10x + (16-x) + 18 = 10(16- x) + x
 10x + 16 - x + 18 = 160- 10x + x
 18x = 126 x = 7 ( thoả mãn điều kiện)
Vậy chữ số hàng chục là 7, chữ số hàng đơn vị là 16- 7 = 9
Do đó số phải tìm là 79
Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh chọn ẩn là chữ số hàng đơn vị
* Khai thác: Có thể thay đổi dữ kiện của bài toán thành biết tổng các chữ số của nó bằng tỉ số giữa chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị, khi đó ta cũng có cách giải tương tự
 Bài toán: Tìm một số có hai chữ số biết chữ số hàng chục lớn gấp ba lần chữ số hàng đơn vị, khi đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì được số mới nhỏ hơn số đã cho là 36
Giải: Gọi chữ số hàng đơn vị x ( .Chữ số hàng chục là 3x
Số phải tìm có dạng (3x)x = 30x + x
Sau khi đổi chỗ hai chữ số được số mới là: x(3x) = 10x + 3x
Ta có phương trình: 10x + 3x + 36 = 30x + xx = 2 ( thoả mãn điều kiện) Vậy số phải tìm là: 62
3. Dạng toán công việc: 
a. Hướng dẫn học sinh tìm lời giải:
 - Với dạng toán này giáo viên cần làm cho học sinh hiểu: Coi toàn bộ công việc là một đơn vị và biểu thị bằng 1, nếu thực hiện xong một công việc hết x ngày (giờ, phút...) thì trong một ngày(giờ, phút...) làm được 1/x công việc và tỉ số 1/x chính là năng suất lao động trong một ngày (giờ, phút...).
- Hướng dẫn học sinh thông qua lập bảng như sau:
Bảng 1
Cách trường hợp
Thời gian làm xong 1 công việc
Năng suất công việc
Mối liên hệ(tổng khối lượng công việc)
Theo dự định
Máy 1(đội1)
Máy2(đội2 )
Theo thực tế
Máy 1(đội1)
Máy2(đội2 )
Phương trình lập được
Bảng 2
Các sự kiện
Đội I(vòi 1)
Đội II(vòi 2)
Cả hai đội
Số ngày
Phần việc làm trong một ngày
Phương trình lập được
Bài toán 1: Hai công nhân nếu làm chung thì 12 giờ hoàn thành công việc. Họ làm chung với nhau trong 4 giờ thì người thứ nhất chuyển đi làm việc khác, người thứ hai làm nốt phần công việc còn lại trong 10 giờ.Hỏi người thứ hai làm một mình thì trong bao lâu sẽ hoàn thành công việc đó.
+ Hướng dẫn giải: Nếu gọi thời gian để một mình người thứ hai làm xong công việc là x giờ (x > 0)
Khi đó: Trong 1 giờ người thứ hai làm được bao nhiêu phần công việc? (1/x)
Trong 10 giờ người thứ hai làm được bao nhiêu phần công việc? (10/x)
Hai người cùng làm thì xong công việc trong 12 giờ. 
Vậy trong 1 giờ hai người cùng làm được bao nhiêu phần công việc? (1/12)
trong 4 giờ hai người cùng làm được bao nhiêu phần công việc? (4/12)
Tìm mối liên hệ giữa các đại lượng để lập phương trình.
+ Cách giải:
Gọi thời gian để một mình người thứ hai làm xong công việc là x giờ(x >0)
Trong 1 giờ người thứ hai làm được: (phần công việc)
Trong 10 giờ người thứ hai làm được: (phần công việc)
Trong 1 giờ cả hai người làm được: (phần công việc)
Trong 4 giờ cả hai người làm được: (phần công việc)
Theo đề bài hai người làm chung trong 4 giờ sau đó người thứ hai làm nốt trong 10 giờ thì xong công việc nên ta có phương trình: 
Giải phương trình ta được x = 15 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy một mình người thứ hai làm xong toàn bộ công việc hết 15 giờ. 
Bài toán 2: Hai đội công nhân xây dựng nếu làm chung thì mất 6 ngày sẽ làm xong một công trình. Nếu làm riêng thì đội I làm lâu hơn đội II là 5 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội làm mất bao lâu?
+ Hướng dẫn giải:
Gọi số ngày đội I làm một mình xong là: x ( ngày ), (x > 5)
Ta có bảng sau
Các sự kiện
Đội I
Đội II
Cả hai đội
Số ngày
x
x-5
6
Phần việc làm trong một ngày
 Cách giải:
Gọi số ngày đội I làm một mình xong công việc là x ( ngày ) (x > 5)
Số ngày đội II làm một mình xong công việc là x- 5 ( ngày )
Trong một ngày: Đội I làm được: (công việc )
Đội II làm được: (công việc). Cả hai đội làm được: (công việc )
Theo đề bài thì cả hai đội làm chung hết 6 ngày mới xong vậy mỗi ngày cả hai đội làm được 1/6 (công việc )
Ta có phương trình : 
 x(x-2)-15(x-2)= 0
 (x-2)(x-15)=0
 x=2 (loại ) hoặc x=15 (thoả mãn )
Trả lời: Đội I làm riêng hết 15 ngày
Đội II làm riêng hết 10 ngày
Cách 2:Gọi số ngày đội II làm một mình xong công việc là x (ngày ), (x > 0)
Ta có bảng sau:
Các trường hợp
Đội I
Đội II
Cả hai đội
Số ngày làm xong việc
x+5
x
6
Phần việc làm trong một ngày
Phương trình lập được
Ta có phương trình 
Giải phương trình: x = 10 hoặc x= -3 (loại )
 Đối với bài toán này nếu quên không đặt điều kiện cho ẩn hoặc không so sánh kết quả với điều kiện của ẩn thì không loại được nghiệm của phương trình, khi đó kết quả của bài toán sẽ sai.
4. Dạng toán về năng suất lao động:
a. Hướng dẫn tìm lời giải:
+ Tiến hành chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn:
+ Đối với dạng toán về diện tích lập bảng như sau:
Các trường hợp
Diện tích
Năng suất
Thời gian
Dự định
Thực tế
Phương trình lập được
+ Đối với dạng toán thông thường khác hướng dẫn học sinh theo bảng sau:
Mối liên hệ
Các trường hợp
Khối lượng công việc
Năng suất công việc
Thời gian thực hiện( Tổng khối lượng công việc)
Theo dự định
Đội 1
Đội 2
Theo thực tế
Đội 1
Đội 2
Phương trình lập được.
 b. Bài minh hoạ: 
Bài 1: Trong tháng đầu hai tổ sản xuất được 400 chi tiết máy. Tháng sau tổ 1 vượt mức 10%, tổ 2 vượt mức 15