Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để giải một số bài toán bồi dưỡng học sinh giỏi Lớp 9

A - đặt vấn đề
 1.Cơ sở lý luận 
 Toỏn học là một mụn khoa học cú từ lõu đời, cú ứng dụng hầu hết trong cỏc lĩnh vực của cuộc sống, từ xa xưa con người đó biết đến toỏn học thụng qua việc đo đạc, tớnh toỏn
 Mụn toỏn là nền tảng cho cỏc mụn khoa học tự nhiờn khỏc. Trong nhà trường, mụn toỏn giữ một vai trũ quan trọng, bởi mụn toỏn cú tớnh trừu tượng cao, tớnh logic, chớnh xỏc và khụng bỏ tớnh thực nghiệm. Vỡ vậy, làm thế nào để học giỏi toỏn, đú là cõu hỏi đặt ra của nhiều thế hệ học sinh, thầy cụ và cỏc bậc phụ huynh hay bất cứ ai quan tâm đến giáo dục và dạy học.
 2.Cơ sở thực tiễn
 Hệ thức lượng đóng một vai trò quan trọng trong toỏn học núi chung và trong việc giải toán hỡnh học núi riờng. Song trong thực tế học sinh sau khi học xong chương hệ thức lượng trong tam giỏc vuụng cỏc em ngại giải các bài toán về tớnh tỉ số lượng giác của góc nhọn khụng đặc biệt và chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức bởi cỏc em nắm cỏc kiến thức về hệ thức lượng chưa sõu sắc và vận dụng cỏc hệ thức vào giải chưa linh hoạt. Vỡ thế trong quỏ trỡnh giải toỏn cỏc em thường gặp phải những khú khăn, vướng mắc. Đặc biệt ở những tỡnh huống khú thỡ hầu hết cỏc em cũn gặp lỳng tỳng, bế tắc và gõy chỏn nản, làm cho cỏc em thiếu tự tin trong học tập. Nhất là trong cỏc kỳ thi học sinh giỏi lớp 9 cú rất nhiều bài toỏn cần phải sử dụng đến cỏc hệ thức lượng trong tam giỏc vuụng mà cỏc em cú thể mất điểm.
Làm cỏch nào giỳp cỏc em nắm vững kiến thức về hệ thức lượng trong tam giỏc vuụng và ứng dụng chỳng vào giải cỏc bài toỏn ở trờn là vấn đề mà tụi luụn tự hỏi.
Bản thõn tụi đó nhiều năm dạy bồi dưỡng học sinh giỏi toỏn 9 tụi thấy đõy là vấn đề cần thỏo gỡ. Tụi đó cú những trăn trở và suy nghĩ để ỏp dụng vào dạy cho học sinh. Kết quả cỏc em lĩnh hội cỏc kiến thức vào giải cỏc dạng toỏn trờn một cỏch nhẹ nhàng, tõm lý thoải mỏi, từ đú hỡnh thành cho cỏc em kỹ năng giải toỏn, làm cho cỏc em cú hứng thỳ và niềm tin trong học tập đồng thời làm nền tảng cho sau này. Vỡ vậy tụi mạnh dạn đưa đề tài này để đồng nghiệp gúp ý.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. Trước hết muốn thực hiện mục đớch giỳp học sinh giải được cỏc dạng toỏn này giỏo viờn phải đưa ra một số kiến thức liờn quan.
1. Cỏc hệ thức : 
b2 = ab’ ; c2 = ac’.
b2 + c2 = a2. 
h2 = b’.c’.
ah = bc.
2. Tỉ số lượng giỏc của gúc nhọn : 
 sin = ; cos = 
 tan = ; cot = 
- b = a.sinB = a.cosC b = c.tanB = c.cotC.
 c = a.sinC = a.cosB c = b.tanC = b.cotB
- Tỉ số lượng giỏc của gúc nhọn đặc biệt :
 Sin300 = cos600 = ; sin450 = cos450 = 
 Sin600 = cos300 = ; tan300 = cot600 = 
 tan450 = cot450 = 1 ; tan600 = cot300 = 
II. Thụng qua những kiến thức liờn quan chỳng ta sẽ ứng dụng vào giải một số dạng bài toỏn cụ thể sau :
1. Dạng bài toỏn thứ nhất : Tớnh gúc.
Bài 1 : Tớnh cos150 , sin 150 mà khụng dựng bảng số , khụng dựng mỏy tớnh.
Giải :
Xột ABC cú = 900 , = 150 , BC = 4. Kẻ trung tuyến AM, đường cao AH .
Ta cú , AM = 2 nờn AH = 1.
Do đú tan = 
Ta cú HC = HM + MC = + 2 .
Áp dụng định lớ pitago vào vuụng ACH ta cú : 
AC2 = AH2 + HC2 = 1 + ( + 2)2 = 8 + 4 =4(2 + )
AC = 2.
Xột AHC vuụng tại H ta cú : cos = 
 Vậy cos 150 = 
 Xột AHC vuụng tại H ta cú : sin = 
Vậy sin 150 = 
*. Dạng toỏn tớnh tỉ số lượng giỏc của gúc nhọn khụng đặc biệt chỳng ta phải tạo ra được cỏc tam giỏc vuụng cú chứa cỏc gúc nhọn cần tớnh và cỏc yếu tố đó biết của bài toỏn, ta cần hướng dẫn cho cỏc em vẽ thờm yếu tố phụ và vận dụng linh hoạt cỏc hệ thức lượng , cỏc tỉ số lượng giỏc của gúc nhọn vào chổ nào là cần thiết cho quỏ trỡnh. 
Bài 2 : Khụng dựng bảng số, khụng dựng mỏy tớnh . Chứng minh rằng :
Tan150 = 2 - ; cot150 = 2 + 
Giải :
Xột ABC cú = 900 , = 150 , BC = 4. Kẻ trung tuyến AM, đường cao AH .
Ta cú , AM = 2 nờn AH = 1.
Do đú tan = 
Ta cú HC = HM + MC = + 2 .
 Xột AHC vuụng tại H ta cú :
 tan = 
Vậy tan150 = 2 - 
 Xột AHC vuụng tại H ta cú : cot = 
Vậy cot150 = 2 + . 
Nhận xột : Khi giải bài toỏn này cần yờu cầu HS đọc kỹ bài , xột xem bài toỏn giải quyết dựa vào hệ thức lượng trong tam giỏc vuụng, khi đú phải nghĩ ngay đến vẽ yếu tố đường phụ và xõu chuổi toàn bộ kiến thức một cỏch logic.
Bài 3 : Tớnh cos360 , cos720 mà khụng dựng bảng số , khụng dựng mỏy tớnh.
Giải :
Vẽ ABC cõn tại A, = 360, BC = 1
Xột ABC cõn tại A cú = 360 
Vẽ tia phõn giỏc CD (DAB). 
Xột ADC cú = = 360 ADC cõn tại D AD = CD = 1
Xột BCD cú BC = CD = 1 BCD cõn tại C.
Kẻ DH AC. Đặt AH = HC = x > 0.
Xột ADH cú = 900 
ABC cõn tại A AB = AC = 2x, BD = 2x – 1
Xột ABC cú CD là tia phõn giỏc 
 Do đú 
Kẻ CK AB ta được KBC vuụng tại K
 cos = = 
Vậy 
Nhận xột : Ngoài ứng dụng để tớnh cỏc gúc lượng giỏc khụng đặc biệt , thỡ hệ thức lượng trong tam giỏc vuụng cũn cú rất nhiều ứng dụng quan trọng trong giải cỏc bài toỏn hỡnh học đặc biệt nú cú ựng dụng cực kỡ quan trọng là chứng minh hệ thức. Mỗi khi vận dụng linh hoạt cỏc hệ thức lượng trong tam giỏc vuụng học sinh giải cỏc bài tập chứng minh hệ thức nhẹ nhàng và hiệu quả. Sau đõy chỳng ta sẽ xột một số bài toỏn. 
2. Dạng bài toỏn thứ hai : Chứng minh đẳng thức, chứng minh bất đẳng thức.
Bài 4 : Cho ABC vuụng tại A cú < 450 và AB < AC , đường cao AH; trung tuyến AM = a.
Chứng minh rằng : Sin2 = 2 sin.cos
Chứng minh rằng : 2cos2 = 1 + cos2
Giải :
a)Xột AHC cú sin = ; cos = 
Vỡ AM là trung tuyến ứng với BC .
Xột AHM cú 
 sin2 = (1) 
Do đú : 2sin.cos=2 (2)
Từ (1) và (2) Sin2 = 2 sin.cos
Vậy Sin2 = 2 sin.cos
b) Xột AHM cú 
 cos2 = 
Do đú : 1 + cos2 = 1 + (3) 
Ta cú : 2cos2 = 2 (4)
Từ (3) và (4) 2cos2 = 1 + cos2.
Vậy 2cos2 = 1 + cos2 
Bài 5 : Cho hỡnh vuụng ABCD và điểm M thuộc cạnh BC. Kộo dài AM cắt tia DC tại N. Chứng minh rằng .
Giải :
Qua A kẻ đường thẳng vuụng gúc với AM cắt tia CB tại E. 
Xột ABM và ADE cú 
AB = AD (gt) ; (cựng phụ )
(g.c.g) AM = AE (Hai cạnh tương ứng)
Xột AEN cú ; AD EN ( D EN )
 (1)
Mà AB = AD (gt) ; AM = AE (c/m trờn) (2)
Từ (1) và (2) 
Vậy .
Bài 6 : Cho tam giỏc ABC cõn tại A cú cỏc đường cao AH và BK.
Chứng minh rằng : 
Giải :
 Qua B kẻ đường thẳng vuụng gúc với BC cắt tia đối của tia AC tại D. 
Vỡ ABC cõn tại A nờn đường cao AH đồng thời là đường trung tuyến BH = HC.
Xột BCD cú BH = HC (c/m trờn) ; AH // BD ( BC )
 CA = AD (t/c đường trung bỡnh của tam giỏc ).
Nờn AH là đường trung bỡnh của BCD
 AH = BD BD = 2AH. (1)
Xột BCD cú ; BK CD ( K CD )
 (2)
Từ (1) và (2) 
Vậy .
Để chứng minh đẳng thức trờn người ta thường nghĩ ngay đến hệ thức lượng trong tam giỏc vuụng “ Hệ thức ’’. Một thủ thuật để nhận ra tam giỏc vuụng cú đường cao ứng với cạnh huyền là vẽ đường phụ để tạo ra tam giỏc vuụng tại B cú đường cao là BK, cạnh gúc vuụng là BC. Khi đú ta nghĩ ngay đường phụ cần vẽ cạnh gúc vuụng cũn lại.
Trong bài toỏn trờn cú tỉ số . Tỉ số mỏch bảo 
cho ta xột tam giỏc vuụng cú cạnh gúc vuụng bằng hai lần AH.
Sau đõy là bài toỏn tương tự , ta củng phải nghĩ ngay đến cỏch vẽ đường phụ để tạo ra tam giỏc vuụng cú cạnh gúc vuụng là AN.
Bài 7 : Cho hỡnh thoi cú , tia Ax tạo với tia AB và cắt cạnh BC tại M , cắt đường thẳng CD tại N. Chứng minh rằng 
Giải :
Qua A kẻ đường thẳng vuụng gúc với AN cắt CD tại E , kẻ AH DC ( H DC )
Xột ADE và ABM cú : AD = AB (gt); ; 
(gúc đối hỡnh thoi) ADE = ABM (g.c.g)
 AE = AM ( Hai cạnh tương ứng ) (1)
Xột AEN cú ( cỏch dựng ) ; AH EN 
 ( hệ thức lượng trong vuụng ) (2)
Từ (1) và (2) (*)
Xột ADH cú (pitago)
(vỡ AD = AB ; HD = )
 (**)
Từ (*) và (**) 
Vậy .
Bài 8 : Cho tam giỏc ABC cú cỏc đường trung tuyến BM và CN vuụng gúc với nhau . Chứng minh rằng cotB + cotC 
Giải:
Gọi G là giao điểm của BM và CN , AG cắt BC tại I. G là trọng tõm của tam giỏc ABC và IB = IC
Vẽ AD BC ; GE BC ( D, E BC ) AD // GE. 
Áp dụng hệ quả của định lớ ta lột ta cú : 
 AD = 3GE. 
Xột GBC cú và GP là đường trung tuyến 
.
Ta cú GE GP ( vỡ EG là cạnh gúc vuụng của
 tam giỏc vuụng GEP)
Xột DAB (1)
Xột DAC (2)
Từ (1) và (2) 
(Vỡ BC = 2GE ; AD = 3GE (c/m trờn) )
Vậy cotB + cotC .
Bài 9 : Cho tam giỏc ABC vuụng tại A . Chứng minh rằng 
Giải:
Vẽ đường phõn giỏc BD của ABC ( D AC ).
Theo tớnh chất đường phõn giỏc của tam giỏc ta cú : 
.
Xột ABD cú 
Vậy 
Bài 10 :Cho tam giỏc ABC, phõn giỏc trong AD, đường cao CH và trung tuyến BM cắt nhau tại I. Chứng minh rằng AB.cosA = BC.cosB. 
Giải :
Kẻ MN // AB .
Ta cú ADE ABM (g.g) (1)
Vỡ AD là phõn giỏc của (2)
Từ (1) và (2) (3)
Mà MN = AH (vỡ MN là đường trung bỡnh củaACH); AM = AC (vỡ M là trung điểm của AC) (4)
Từ (3) và (4) AB.AH = AC.HB. (*)
Xột ACH cú AH = AC.cosA
Xột BCH cú BH = BC.cosB (**)
Từ (*) và (**) AB.AC.cosA = AC.BC.cosB AB.cosA = BC.cosB.
Vậy AB.cosA = BC.cosB.
Đối với học sinh lớp 9 , để giải một bài toỏn cần phải vẽ thờm yếu tố đường phụ cỏc em gặp rất nhiều khú khăn, bởi cỏc em chưa cú kỹ năng , chưa cú thuật giải. Vỡ vậy để giải quyết bài toỏn dạng này khụng cú cỏch nào khỏc là phải giỳp cỏc em giải theo chuyờn đề làm nhiều bài toỏn tương tự từ đú cỏc em cú được kỹ năng và phương phỏp giải.
III. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ :
Bài 1 : Tớnh cos180 , sin 180 mà khụng dựng bảng số , khụng dựng mỏy tớnh.
Bài 2 : Tớnh cos540 , sin 540 mà khụng dựng bảng số , khụng dựng mỏy tớnh.
Bài 3 : Tớnh diện tớch tam giỏc vuụng cú hiệu giữa đường trung tuyến và đường cao ứng với cạnh huyền bằng 7cm, cú chu vi bằng 72 cm.
Bài 4 : Cho hỡnh chữ nhật ABCD cú AD = t.AB (t > 0). Trờn cạnh BC lấy điểm M, đường thẳng AM cắt đường thẳng CD tại P, đường thẳng EF vuụng gúc đường thẳng AM cắt AB tại E và cắt CD tại F. Đường phõn giỏc của cắt CD tại K. Chứng minh rằng : .
Bài 5 : Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn. Chứng minh rằng cosA+ cosB+ cosC 
Bài 6 : Cho tam giỏc ABC cõn tại A, đỏy BC = a, . Kẻ cỏc đường cao AH, BK. Chứng minh rẳng : .
C. KẾT LUẬN
 Trờn đõy là một số kinh nghiệm mà bản thõn tụi tổng hợp trong quỏ trỡnh giảng dạy . Với những bài toỏn trờn nếu cỏc em chưa cú được kỹ năng và phương phỏp giải phự hợp thỡ việc giải khú đưa lại kết quả. Giỳp học sinh nhận thấy được cỏc phương phỏp giải cỏc bài toỏn tớnh tỉ số lượng giỏc của gúc nhọn và chứng minh hệ thức trong quỏ trỡnh giảng dạy đó gúp phần giỳp cỏc em giải một số bài toỏn dễ dàng hơn. Từ đú cỏc em sẽ tự tin hơn trong học toỏn và giải toỏn.
Kết quả khảo sỏt thực tế đó cho thấy:
Tổng
Giỏi
Khỏ
TB
Yếu
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
Trước khi vận dụng đề tài
30
0
0
6
20
14
46,6
10
33,4
Sau khi vận 
dụng đề tài
30
3
10
12
40
15
50
0
0
D. BÀI HỌC KINH NGHIỆM.
 Để giỳp học sinh giải cỏc dạng bài toỏn trờn nhẹ nhàng và thoải mỏi người giỏo viờn phải luụn tự học để nõng cao trỡnh độ chuyờn mụn, luụn lắng nghe và tỡm hiểu tõm tư nguyện vọng của cỏc em, luụn động viờn , giỳp đỡ tận tỡnh và là người gỡ rối cho cỏc em đỳng lỳc , đỳng thời điểm. Ngoài ra người giỏo viờn phải tỡm tũi cỏc tài liệu cú liờn quan như :
 - Chuyờn đề bồi dưỡng học sinh giỏi toỏn THCS “Hỡnh học” – Nguyễn Vũ Thanh
 - Nõng cao và phỏt triển toỏn 9 – Tập II – Vũ Hữu Bỡnh.
 - Cỏc chuyờn đề hỡnh học bồi dưỡng học sinh giỏi THCS - Trần Văn Tấn.
 - 500 bài toỏn chọn lọc 9 – Nguyễn Ngọc Đạm; Nguyễn Quang Hanh; Ngụ Long Hậu.
 - Tuyển tập cỏc bài toỏn hay và khú hỡnh học 9 - Phan Văn Đức; Nguyễn Hoàng Khanh; Lờ Văn Trương.
E. ĐỀ XUẤT – KIẾN NGHỊ
 Với đề tài này tụi hy vọng giỳp đồng nghiệp một phần nhỏ trong quỏ trỡnh giảng dạy. Đề tài khụng trỏnh khỏi những thiếu sút, tụi mong muốn nhận được những đề nghị , gúp ý bổ ớch từ cỏc đồng nghiệp để đề tài của tụi được hoàn thiện hơn.
 Tụi mong rằng Phũng GD – ĐT nờn triển khai những đề tài đạt kết quả cao đến toàn thể giỏo viờn và đưa vào làm tài liệu tham khảo cho đồng nghiệp. 
 Tụi xin chõn thành cảm ơn !
 Thạch Hà, ngày 15 / 3 / 2012